[Math] Upper Bound (상계) and Lower Bound (하계)

Upper Bound and Supremum

Wolfram MathWorld에서 언급하는 Upper Bound (상계)와 Supremum(상한) 정의는 다음과 같음.

 

A function $f$ is said to have an upper bound $c$ if $f(\textbf{x})\le c$ for all $\textbf{x}$ in its domain.

The least upper bound is called the supremum.

A set is said to be bounded from above if it has an upper bound.

 

(real number로 한정하여서 애기한다면)

• $f$가 가질 수 있는 모든 값들이 $c$보다 작거나 같은 경우, $c$가 upper bound가 된다.
• set(집합)의 경우엔 해당 set에 속하는 모든 element들보다 같거나 큰 수 $c$가 존재할 경우, 해당 set은 upper bound를 가진다.
• supremum (상한, 최소상계)는 upper bound 중에서 가장 작은 수를 가르킨다. Set $A$의 supremum은 $\text{sup}_{x\in A}x$ 또는 $\text{sup}_A$로 표기된다. 

interval을 예로 들어 설명하면,
[a,b] 인 경우, upper bound는 b가 되며 동시에 b는 maximum value가 된다.
[a,b)인 경우엔 upper bound가 b인 건 동일하나 maximum value는 아니다 (해당 interval에 속하지 않으므로).

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Lower Bound and Infimum

 

Wolfram MathWorld에서 언급하는 Lower Bound (하계)와 Infimum(하한)의 정의는 다음과 같음.

 

A function $f$ is said to have a lower bound $c$ if $f(\textbf{x})\ge c$ for all $\textbf{x}$ in its domain.

The greatest lower bound is called the infimum.

A set is said to be bounded from below if it has a lower bound.

 

(real number로 한정하여서 애기한다면)

• $f$가 가질 수 있는 모든 값들이 $c$보다 크거나 같은 경우, $c$가 lower bound가 된다.
• set(집합)의 경우엔 해당 set에 속하는 모든 element들보다 같거나 작은 수 $c$이 존재할 경우, 해당 set은 lower bound를 가진다.
• infimum (하한, 최대하계)는 lower bound 중에서 가장 큰 수를 가르킨다. Set $A$의 infimum은 $\text{inf}_{x\in A}x$ 또는 $\text{inf}_A$로 표기된다.