orthogonal function

[SS] Orhtogonal Function : sin

$\sin$ signal 은 interval $[-\pi,\pi]$에서 orthogoanl function(직교 함수)임. 다음을 참고. $$\begin{aligned} \int^{\pi}_{-\pi} f_m (t) f^{*}_{l} (t) dt &= \int^{\pi}_{-\pi} \sin (mt) \sin (lt) dt \\ &= \int^{\pi}_{-\pi} \left[ \frac{1}{2} \left\{ \cos(m-l) t - \cos (m+l)t \right\} \right] \\ &= \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos (m-l)t dt - \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos(m+l)t dt \\ &= A \end{aligned}$$ $m \n..

[SS] Orthogonal Function : Complex Exponential Function

지수 함수 (정확히는 복소지수함수)는 대표적인 orthogonal function으로 Fourier transform의 basis로 사용이 된다. 구간 $T$에서 Orthogonal function인 경우, 해당 구간에서 inner product를 취할 때 자기자신과 inner product인 경우 외의 결과가 0임. 때문에 해당 함수의 coefficient를 쉽게 구할 수 있음: basis로 사용되는 이유. linearly independent만 만족한다면 basis가 될 수 있으나, 위의 성질 때문에 가급적 orthogonal을 만족하는 녀석들이 basis로 사용됨. 다음과 같은 Complex Exponential Function, $f_l(t)$와 $f_k(t)$이 있다고 하자. $$ f_l (t)..