fourier

[SS] Fourier Transform : Frequency Shifting

어떤 성질인가? $$x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$ $x(t)$ : time domain function $X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform $\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting 시킬 경우, Time Domain에서는 $e^{j\Omega_0}t$가 곱해지게 된다. 증명 $$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int^\infty_{-\infty} X(\Omega - \Omega_0)e^{j\Omega}t d\Omega ..

[SS] Fourier Transform of Pulse Signal

다음은 pulse signal의 정의임. $$ x(t)=\left\{\begin{matrix}1, & |t|\le\frac{\tau}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{matrix}\right.$$ Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin{aligned} X(\Omega)&=\int^\infty_{-\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt \\ &=\int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}} 1 e^{-j \Omega t} dt \\ &=\left. \frac{e^{-j\Omega t}}{-j\Omega} \right| ^{\frac{\tau}{2}} _{-\frac{\tau}{2}} \\ &= \frac{1}{-j..

[SS] FT of phase shifted sinusoid!

$f(t)=A\sin (\omega_0 t-\theta)$ 에 대한 Fourier Transform 구하기. 1. phase가 없는 경우를 구하고 $\mathscr{F}[\sin \omega_0 t]$ 는 다음과 같음. $$\begin{aligned}\mathscr{F}[\sin \omega_0 t] & = \int_{-\infty}^{\infty} \sin \omega_0 t e^{-j\Omega t} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j} e^{-j\Omega t} dt \\ &= \frac{1}{2j} \left\{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 t} e^{-j\Ome..

[SS] Impulse Train의 FT 구하기.

impulse train은 periodic function. 때문에, impulse train은 Fourier series로 표현가능함. $$\begin{align} x(t) &= \displaystyle {\sum_{k=-\infty}^{\infty}} \delta (t -kT) \end{align} $$ $T$ : impulse train의 period (= impulse function간의 간격) 위의 impulse traine은 주기 $T$로 delta function이 반복되는 것이며, Fourier series를 이용하여 Fourier coef. $X_k$를 구하면 다음과 같음. $$ \begin{align} X_k &= \frac{1}{T}\int_{t=-\frac{T}{2}}^{\frac{..