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[SS] Fourier Transform : Frequency Shifting
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.../Signals and Systems
어떤 성질인가? x(t)ejΩ0tX(ΩΩ0) x(t) : time domain function X(Ω) : Fourier representation, Foruier Transform Ω0 : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 Ω0 만큼 shifting 시킬 경우, Time Domain에서는 ejΩ0t가 곱해지게 된다. 증명 $$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int^\infty_{-\infty} X(\Omega - \Omega_0)e^{j\Omega}t d\Omega ..
[SS] Fourier Transform of Pulse Signal
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.../Signals and Systems
다음은 pulse signal의 정의임. x(t)={1,|t|τ20,otherwise Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin{aligned} X(\Omega)&=\int^\infty_{-\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt \\ &=\int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}} 1 e^{-j \Omega t} dt \\ &=\left. \frac{e^{-j\Omega t}}{-j\Omega} \right| ^{\frac{\tau}{2}} _{-\frac{\tau}{2}} \\ &= \frac{1}{-j..
[SS] FT of phase shifted sinusoid!
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f(t)=Asin(ω0tθ) 에 대한 Fourier Transform 구하기. 1. phase가 없는 경우를 구하고 F[sinω0t] 는 다음과 같음. $$\begin{aligned}\mathscr{F}[\sin \omega_0 t] & = \int_{-\infty}^{\infty} \sin \omega_0 t e^{-j\Omega t} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j} e^{-j\Omega t} dt \\ &= \frac{1}{2j} \left\{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 t} e^{-j\Ome..
[SS] Impulse Train 의 FT 구하기.
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FT의 결과가 역시 impulse train이라는 점과time domain에서의 주기 T가 freq. domain의 주기 Ω0=2πT와 반비례 관계라는 점, 그리고 time domain에서의 convolution이 freq. domain에선 곱하기라는 점을 통해Nyquist-Shannon 의 Sampling Theorem을 이해하는데 핵심적 역할을 함. impulse train은 periodic function.때문에, impulse train은 Fourier series로 표현가능함.x(t)=k=δ(tkT)T : impul..