[Math] Taylor Expansion and Taylor Theorem (테일러 전개)

Taylor Expansion

어떤 function $f(x)$을 어떤 point $a$에서의 값과 derivative들을 이용하여 polynomial(다항식) $p(x)$으로 approximation(근사)하는데 사용되는 것이 바로 Taylor's Expansion이라고 함.

• 복잡한 function 의 경우, 해당 function의 특성을 직접 고려하기 어려움.
• Taylor's Expansion을 이용하면 특정 point 에서의 function value 와 derivative들의 power series로 대체하여 처리할 수 있음.

결과적으로 $x=a$ 에서 복잡한 함수 $f(x)$와 동일한 derivative를 가지는 polynomial 로 approximation 이 됨.

• $f^\prime (a) = p^\prime(a)$
• $f^{\prime\prime} (a) = p^{\prime\prime} (a)$
• $f^{\prime\prime\prime} (a) = p^{\prime\prime\prime} (a)$
• $\vdots$

다음 그림에서도 보이듯이 보다 높은 order의 derivative들이 추가될 수록 정확해짐.

Taylor's expansion for $y=e^x$ .

Taylor Expansion 수식

$$
\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \sum^\infty_{n=0}
\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\end{aligned}
$$

• left and right side 의 등식이 성립하려면, $x=a$ and its neighbors 에서만 성립 (근처에서 성립한다는 것이 명심할 것).
• $f^{(n)}$ : $n$-th order derivative of $f$.
• $x=a$에서 function value와 derivative 들로 $f(x)$를 approximation

보통은 the first order derivative까지만 사용함.

Taylor's theorem

Taylor theorem 이란, n 번 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대해 다음의 수식이 성립하는 $h_n(x)$ 가 반드시 존재한다는 정리임.

$$
f(x) = f(a)+f^\prime (a)(x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+h_n(x)(x-a)^n \\
\underset{x \to a}\lim h_n(x)=0
$$

이는 Taylor series에서 말한 내용 중, 어떤 function을 유한한 차수의 polynomial 로 approximation 할 수 있다는 근거가 됨. 해당 approximation 에서 오차는 $h(x)(x-a)^n$ 에 해당함.