Eigenfunction(고유함수) 은 어떤 operator를 적용했을 때,
함수의 형태는 그대로이고 상수배만 되는 함수임.
정의
operator를 $T$, 함수 $f$를 eigenfunction이라 하면 다음이 성립:
$$T[f]=\lambda f$$
- $f$: eigenfunction
- $\lambda$: eigenvalue
참고로,
- 일반적인 eigenfunction(고유함수)은 linear operator(선형연산자)에 대해 정의됨!
- 실제로 function space 역시 vector space이므로,
- basis를 정하면 일반적인 vector space와 isomorphic하게 표현 가능하며,
- 이때 eigenfunction은 대응되는 eigenvector로 표현됨.
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$$D=\frac{d}{dt}$$
이 경우 다음의 exponential function 이 eigenfunction임.
$$f(t)=e^{rt}$$
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실제 미분하면 다음과 같음:
$$D[e^{rt}]=re^{rt}$$
즉,
- $e^{rt}$는 differentiation operator의 eigenfunction이고,
- eigenvalue는 $r$임.
결론
Eigenfunction은 operator를 적용해도 함수의 형태가 변하지 않고 eigenvalue만 곱해지는 함수임.
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