Independent Poisson variables의 합과 상수곱

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Poisson Distribution : mean=variance

단위 면적당 검출 count $N$이 Poisson Ditribution 를 따른다면 다음이 성립:

$$N \sim \text{Poisson}(\lambda)$$

where,

• $\lambda$ = 단위 면적당 mean count = $\mathbb{E}[N]$

Poisson Distribution이므로,

$$\mathbb{E}[N]=\mathrm{Var}[N] = \lambda$$

 

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Poisson Distribution (포아송분포)

[Math] Poisson Distribution (포아송분포)

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면적 A에서의 random variable 정의

면적 A를 단위 면적 1의 A개 독립된 단위면적의 cell로 구성했다고 하면 다음이 성립:

$$N_{\text{tot}} = \sum_{i=1}^{A} N_{i}$$

 

여기서 주의할 것은

• 각 $N_{i}$는 독립적(indepedent) 이며
• 각 $N_{i}$가 같은 Poisson Distribution임!

$$N_{i} \sim \text{Poisson}(\lambda)$$

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Independent Poisson variables의 합 = Poisson variable

독립적인 Poisson random variable들의 합은 역시 Poisson Distribution을 따르며,
결과 Poisson Distribution의 mean은 각 더해진 Poisson Distribution들의 mean 들의 sum임:

$$
N_{\text{tot}} \sim \text{Poisson}(A,\lambda).
$$

결과는 다음과 같음:

항목	단위 면적	면적 A
평균 $\mathbb{E}[N]$	$\lambda$	$A\lambda$
분산 $\mathrm{Var}[N]$	$\lambda$	$A\lambda$

 

면적에 대한 평균 count와 count의 분산을 구할 경우는 합으로 생각해야 함.

면적이 A배 커지면 평균과 분산 모두 A배 가 된다.

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Poisson variable 의 scalar multiple (결과가 Poisson이 아님)

만약 단위 면적의 평균 count $\lambda$를 기반으로 effective energy를 곱해서 Energy로 값을 바꿀 경우

1. 단위 면적에서 측정된 count 에서 energy로 바뀌며,
2. 이 energy는 Poisson 분포를 따르지 않음:
   • $e = N h\nu$, where $N$ 은 count, $h\nu$는 effective energy.
   • 이는 scalar multiple 에 해당하는 선형변환이 가해진 경우에 해당함.  

이는 linear transform의 mean과 variance의 성질에 따라 energy 의 mean과 variance는 다음과 같음:

• $\mathbb{E}[e]=\overline{e}=h\nu \lambda$
• $\text{Var}[e]=\text{Var}[h \nu \lambda] = (h \nu)^2 \lambda$

일반적으로 Poisson Distribution을 따르는 count를 기반으로 에너지를 구하거나, 증폭기를 통해 증폭 등을 시킬 경우는 scalar multiple에 해당하는 linear transform이며 이는 결과치가 Poisson Ditribution이 아닌 다음과 같은 mean과 variance를 가짐을 의미함:

$$
\boxed{
\mathbb{E}[cN] = c\lambda,\quad \mathrm{Var}[cN] = c^2\lambda
}
$$
where

• $c\lambda$가 mean,
• $c^2\lambda$가 variance.