Boltzmann’s Factor (or Boltzmann’s Distribution)

온도 $T$가 주어진 상황에서,입자가 에너지 $E$를 가질 확률은 Boltzmann’s Factor에 비례(통계물리학).

이를 식으로 나타내면 다음과 같음.

$$P(E,T)\propto\text{Exp}\left(\frac{-E}{K_\text{Boltzmann}T}\right)=\frac{1}{\text{Exp}\left(\frac{E}{K_\text{Boltzmann}T}\right)}$$

• 위 식에서, $K_\text{Boltzmann}$은 Boltzmann Constant이며 $K_\text{Boltzmann}=\frac{R}{N_A}$로서 ideal gas constant $R$과 아보가드로수 $N_A$의 비(ratio)임.
• $R=8.314472$ 이며 unit은 $\frac{J}{K\text{mol}}$임.

 

ideal gas에서 기체분자의 에너지 $E=\text{KE}=\frac{1}{2}mv^2$으로 나타나므로, 온도 $T$가 주어진 상황에서 이상기체분자의 속도가 $v$인 확률을 나타내는데에도 사용가능함.

$$\begin{aligned}P(v,T)\propto \text{Exp}\left(\frac{-E}{K_\text{boltzmann}T}\right)\\ \propto \text{Exp}\left(\frac{-\text{KE}}{K_\text{boltzmann}T}\right)\\ \propto \text{Exp}\left(\frac{-\frac{1}{2}mv^2}{K_\text{boltzmann}T}\right)\end{aligned}$$

Maxwell-Boltzmann Details (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/disfcn.html)

참고

• 이같은 확률분포를 따르는 경우에, Boltzmann’s distribution을 확률분포로 가진다고도 애기함.
• Machine Learning에서 Boltzmann Machine이나 Restricted Boltzmann Machine에서도 사용됨.
• 이때 사용되는 Boltzmann’s Distribution은 다음과 같음.

$$\begin{aligned}P(\textbf{x}|\boldsymbol{\theta})&=\dfrac{e^{-\Phi(\textbf{x}|\boldsymbol{\theta})}}{Z(\boldsymbol{\theta})}\\&=\dfrac{1}{Z(\boldsymbol{\theta})}\text{Exp}\left(-\Phi(\textbf{x},\boldsymbol{\theta})\right)\end{aligned}$$

where

• $\Phi$ is an Energy Function.
• $Z$ is an Partial Function for Normalization.

Reference

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/disfcn.html

Distribution functions for identical particles