Mechanical Energy

Mechanical Energy consists of Potential Energy and Kinetic Energy.

위치에너지 (Potential Energy, $E_p$)

어떤 물체(mass = $m$)가 기준면으로부터 어떤 높이($h$)에 있을시, 그 물체가 가지는 에너지($E_p$)
$$E_p = mgh$$

• $E_p$ : potential energy
• $m$ : mass
• $g$ : gravitational acceleration
• $h$ : height

일-에너지 정리 에서 알수 있듯이 외부에서 물체에 일을 해주면 물체의 에너지는 증가함.

물체를 들어올릴 경우, 물체에 외부에서 한 일은 다음과 같음.
$$W = Fh$$

• $W$ : work
• $F$ : force
• $h$ : height

여기서 $\textbf{F}=m\textbf{a}$를 이용하면 다음과 같음.
$$E_p = mgh = Fh = W$$

운동에너지 (Kinetic Energy, $E_k$)

어떤 물체(mass=$m$)가 움직이고 있을 때(velocity=$v$) 가지는 에너지 ($E_k$)
$$E_k=\dfrac{1}{2}mv^2$$

• $E_k$ : kinetice energy
• $m$ : mass
• $v$ : speed

일-에너지 정리 및 위의 위치에너지의 경우와 마찬가지로 이 운동에너지는 현재 $v$로 움지이는 물체가 완전히 정지하기까지 해줘야 하는 일의 크기와 같음. 즉, 다음과 같음.

$$\begin{aligned} E_k=W&=Fd\\ &=mad\\ &=ma\bar{v}t\\ &=ma\dfrac{v+0}{2}t\\ &=ma\dfrac{0+at+0}{2}t\quad,\text{if }v_\text{init}=0\\ &=m\dfrac{1}{2}a^2t^2\\ &=m\dfrac{1}{2}v^2\\ &=\dfrac{1}{2}mv^2 \end{aligned}$$

일의 대한 정의 $W=Fd$를 적분으로 표현함으로서 다음과 같이 유도도 가능함.

$$\begin{aligned} E_k = W &= Fd \\ &=\int_{x=0}^d F \text{d}x\\ &=\int_{x=0}^d ma \text{d}x\\ &=\int_{x=0}^d m \dfrac{ \text{d}v}{\text{d}t} \text{d}x \\ &=\int_{x=0}^d m \text{d}v \dfrac{ \text{d} x }{\text{d}t} \\ &=\int_{v=0}^{v_f} m \text{d} v v \\ &=\int_{v=0}^{v_f} m v \text{d} v\\ &=m \int_{v=0}^{v_f} v \text{d} v\\ &=m \dfrac{1}{2} v^2 \quad , v_f \rightarrow v \\ &=\dfrac{1}{2} m v^2 \end{aligned}$$