[Physics] 정지거리 계산에 사용되는 공식 유도.

정지거리 계산에 사용된 다음의 공식 유도하기.(단, acceleration $a$는 상수임.)
$$v(t)^{ 2 }-v(0)^{ 2 }=2ad$$

 

등가속도에서 시간 $t$에서의 속도는 다음과 같음
$$v(t)=v(0)+at$$

 

그리고, 등가속도에서 평균 속도는 다음과 같음.
$$v_\text{mean}=\dfrac{v(t)+v(0)}{2}$$

 

위의 식으로부터 평균 속도로 $t$만큼 간 거리는 다음과 같음.

 

$$\begin{aligned} d &=v_\text{ mean }t \\ &=\frac { v(t)+v(0) }{ 2 } t \\ &=\frac { v(0)+at+v(0) }{ 2 } t \\ &=\frac { 2v(0)+at }{ 2 } t \\ &=\left\{ v(0)+\frac { at }{ 2 } \right\} t \end{aligned}$$

 

위의 기본적인 3개의 식으로부터 다음과 같이 유도됨.

 

$$\begin{aligned} v(t)&=v(0)+at \\ v(t)^2 &=v(0)^{ 2 }+2atv(0)+(at)^{ 2 } \\ &=v(0)^{ 2 }+2at\left\{ v(0)+\frac { at }{ 2 } \right\} \\ &=v(0)^{ 2 }+2a\left\{ v(0)+\frac { at }{ 2 } \right\} t \\ &=v(0)^{ 2 }+2ad \end{aligned}$$

 

일단 등가속도에서 시간 $t$에서의 속도에 대한 식( $v(t)=v(0)+at$ )으로 돌아가서, 양변을 제곱하고,
이후 식을 정리하여 $d$로 바꾸어주면 유도가 종료됨.