측정치에서 유효숫자 확인 및 과학적 표기법 (Scientific Notatoin)

Significant figures (유효숫자)

• 모든 측정값은 근본적으로 근사값 임.
• 측정의 정확도에 한계(즉 오차가 존재)가 있기 때문에, 해당 오차보다 작은 수의 기재는 아무 의미가 없음.
• 즉, 유효한 (효력을 가지는) 수만을 표시해야 하며, 이를 significant figures(유효숫자) 라고 함.
• 단, significant figure의 마지막 자리의 수는 uncetainty 를 가짐.
• 유효숫자의 개수가 많을수록 높은 정확도를 가짐.

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Significant figures (유효숫자) 확인법

1. 측정치의 모든 자리 숫자들 중 0이 아닌 수들은 모두 유효숫자임.
2. 0 인 경우에도 다음의 경우엔 유효숫자임.
   1. 0이 아닌 숫자들로 둘러싸인 0은 유효숫자 : ex) 107.35는 유효숫자가 5개임.
   2. 소수점 아래의 끝자리에 있는 0은 유효숫자임 : ex) 120.00도 유효숫자가 5개임.
      • 단, 0.000과 같이 모든 자리의 숫자가 0인 경우에는 유효숫자가 없음.

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주의 : 0

0 인 경우, 유효숫자 여부를 주의해야 함.
다음의 경우를 조심.

• 자리수를 표시하기 위해 사용되는 0 들은 유효숫자가 아님. ex) 0.0001 에서 유효숫자는 마지막 1뿐임.
  • 1200 에서 뒤의 두 개의 0이 단순히 자리수 표시를 위해 사용된 경우라면 유효숫자가 아님.
• 소수점 이 표기되지 않은 경우에는 단순 자리수를 표시를 위한 0 인지 여부를 알기 어려움. 즉, 1200이 정확히 1200을 의미하는 것인지 아니면 1160에서 반올림 된 결과인지 구분할 수 없음.

위와 같이 자리수 표시를 위한 0의 모호성 으로 인해 Scientific notation(과학적 표기법)을 사용하는게 권장됨.
1200 에서 모든 0들이 유효숫자인 경우, 다음과 같이 표기됨 $$1.200 \times 10^3$$

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주의 : 과학적 상수

• 빛의 속도나 아보가드로 수 등의 과학적 상수의 경우, 유효숫자가 무한대로 간주됨.
• 때문에 측정치와 해당 상수들의 대수적 연산을 할 때, 사용된 측정치의 유효숫자 범위가 변화 없음.

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연산 :

측정치들 간의 연산 결과의 유효숫자는 해당 연산에 참여한 측정치 중 가장 부정확한 수의 유효숫자 갯수로 정해짐.

$$4.5 + 0.3352 = 4.8352 = 4.8$$ $$4.5 \times 0.3352 = 1.5084 = 1.5$$ $$83. \div 8.67 = 9.57324106 = 9.6$$

• 가장 작은 유효숫자의 자리수에 맞추어 연산결과의 유효숫자 갯수를 정하고, 해당 자리의 결과치로 반올림을 통해 구함.
• 과학적 상수는 유효숫자를 무한대 갯수로 간주하므로 계산 결과의 유효숫자 수에 영향을 주지 않음.

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Scientific Notation

$$ x \times 10^y = x \text{ E}y$$

• $x$는 $1$ 이상 $10$ 미만이어야 함.
• $y$는 $0$이 아닌 integer(정수).
• 10의 거듭제곱 부분을 구분하기 위한 $\text{E}$는 $\text{e}$로도 많이 사용됨 (지수를 뜻하는 exponent의 머리글자).

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Example

자신의 키가 170cm 라고 애기할 때, 발생가능한 uncertainty는

• 실제 키 166cm 에서 반올림 하여 170cm 인지
• 실제 키 170.3cm 에서 반올림 하여 170cm 인지
• 실제 키 174cm 에서 반올림 하여 170cm 인지

라고 할 수 있음.

이 같은 경우, scientific notation으로 다음과 같이 표현하면 위의 uncertainty가 줄어들게 됨.
$$ 1.700 \times 10^2 \text{cm} $$

이경우, 170까지는 정말 확실하지만 마지막 유효숫자인 0.0cm는 불확실성을 포함하고 있다.
즉, 170cm의 눈금위에 거의 일치하게 측정된 경우임을 의미함.

• $1.700 \times 10^2 \text{cm}$ : 0.1cm 의 정확도
• $1.70 \times 10^2 \text{cm}$ : 1cm 의 정확도

만일, 측정도구의 눈금이 0.5mm 단위인 경우, 위의 2가지 중 $1.70 \times 10^2$가 보다 적합함.