[Physics] Terminal Velocity and Differential Equation

빗방울의 종단속도(terminal velocity)

1. 빗방울 낙하는 free-fall이 아님 = Air drag존재.
2. 중력에 대해, 크게 2가지의 저항력이 있음.
3. 마찰 저항 : 물방울 표면적이 둘러싸고 있는 공기와 접촉으로 인해 떨어지는 것을 방해하는 힘으로 작용. 점성저항 이라고도 불림.
4. 압축 저항 : 물방울이 떨어질 때 물방울 밑에 있는 공기들이 물방울이 떨어지는 것을 방해하는것.
5. 종단속도는 이 2개의 저항력과 중력을 고려하여 계산 가능.
6. 2가지 방법( differential equation과 힘의 평형을 이용한 방법)으로 풀 수 있는데, 전자(de)는 종단 속도 뿐 아니라 시간당 빗방울의 속도함수를 구할 수 있음.

즉, 3개의 힘이 작용함.

• 중력
• 마찰저항 ($\propto v_\text{fall}$) : $v_\text{fall}$이 느린 경우 영향력이 큼.
• 압축저항 ($\propto v^2_\text{fall}$) : $v_\text{fall}$이 매우 빠른 경우 영향력이 커짐.

위의 세가지 힘 중 작은 빗방울(표면적 작고 가벼움)의 경우 압축저항은 무시할 수 있으므로 일단 마찰저항을 중심으로 생각하면 다음 2개의 힘이 됨.

• 떨어지는 힘.
  $$
  F=ma_\text{gravity}=mg
  $$
• 이를 방해하는 힘
  $$
  F_\text{air-drag}=kv_\text{fall}
  $$

여기서 $k$는 일종의 마찰상수라고 생각하면 되며 항상 양수임.

Newton의 제2법칙(The law of acceleration)을 적용하면

$$
\begin{align}
F_{\text{final}}=ma&=m\dfrac{dv(t)}{dt}\\
\quad &= mg - kv(t) \\
\quad \\
\dfrac{dv(t)}{dt} &= -g-\dfrac{k}{m}v(t)
\end{align}
$$

즉, 위의 differential equation(미분방정식)을 풀면 빗방울 속도 함수 $v(t)$를 구할 수 있음.

$$\begin{aligned}
\frac{dv(t)}{dt} &= -g-\frac{k}{m}v(t) \\
\frac{dv(t)}{dt} &= -\frac{k}{m} \left\{ v(t)-\frac{mg}{k}\right\} \\
\frac{1}{\left\{ v(t)-\frac{mg}{k}\right\}}\frac{dv(t)}{dt} &= -\frac{k}{m} \\
\frac{1}{\left\{ v(t)-\frac{mg}{k}\right\}} dv(t) &= -\frac{k}{m}dt \\
\int \frac{1}{\left\{ v(t)-\frac{mg}{k}\right\}} dv(t) &= \int -\frac{k}{m}dt \\
\ln \left| v(t)-\frac{mg}{k} \right| &= - \frac{k}{m}t +C
\end{aligned}
$$

빗방울의 속도는 terminal velocity로 수렴하고 air-drag의 크기가 중력에 의해 당기는 힘보다 커질 수 없으므로 $mg−kv\ge0$임.

때문에, 다음이 성립.
$$
\ln \left | v(t)-\frac{mg}{k} \right | = \ln \left ( -v(t)+\frac{mg}{k} \right )
$$

즉, 속도 $v(t)$는 다음과 같음.
$$\begin{align} \ln \left\{ \frac{mg}{k}-v(t) \right\} &= - \frac{k}{m} t+C \\
\frac{mg}{k}-v(t) &= e^{- \frac{k}{m} t+C} \\
v(t) &= \frac{mg}{k}-e^{- \frac{k}{m} t}e^C\end{align}$$

적분상수 $C$는 초기조건을 이용하여 구할 수 있음.
초기조건인 $t=0$일때 속도는 $0$, 즉 $v(0)=0$임.
이를 이용하여 integral constant $C$, 정확히는 $e^C$를 구함.
$$
\begin{align}
\ln \left ( \frac{mg}{k}-v(t) \right ) &= - \frac{k}{m} t+C \\
\frac{mg}{k}-v(t) &= e^{- \frac{k}{m} t+C} \\
\frac{mg}{k}-v(0) &= e^{- \frac{k}{m}0}e^C \\
\frac{mg}{k}-0 &= 1\times e^C \\
\quad \\
\therefore e^C=\frac{mg}{k}
\end{align}
$$

$e^C$를 대입한 속도 $v(t)$는 다음과 같음.
$$
\begin{align}
v(t) &= \frac{mg}{k}-e^{- \frac{k}{m} t}e^C\ \\
\quad &=\frac{mg}{k}-e^{- \frac{k}{m} t}\frac{mg}{k} \\
\quad &=\frac{mg}{k} \left (1- e^{-\frac{k}{m} t} \right )
\end{align}
$$

$t$를 무한대로 취하여 위식에 대입하면 Terminal velocity를 구할 수 있음.
$$
\begin{align}
\lim_{t\rightarrow \infty }v(t) &= \frac{mg}{k} \left (1- e^{-\frac{k}{m} t} \right ) \\
\quad &= \frac{mg}{k}
\end{align}
$$

 

 

위의 Differential equation은 어떤 순간의 속도도 구해낼 수 있지만, 단지 Terminal velocity를 구하려면 힘의 평형을 이용하여 구할 수도 있음.
$$
\begin{align}
mg &= kv_{\text{terminal}} \\
v_{\text{terminal}} &= \frac {mg}{k}
\end{align}
$$