[Math] Duality of Projective Geometry

Duality of Projective Geometry

projective geometry(사영기하학)에서 duality(이중성) 는
point(점)과 line(직선) 사이의 역할을 교환해도 성질이 변하지 않는 관계를 의미함

 

이 글은 projective geometry에서 duality(이중성)를 예를 통해 설명함.

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duality(이중성)의 기본 원리

projective geometry(사영기하학)에서의 duality(이중성)는 다음과 같은 방식으로 정의됨:

• point과 line의 interchange(교환):
  • 어떤 theorem(정리)가 point에 대해 성립(true)한다면,
  • 그 theorem에서 point를 line으로, line을 point로 바꾸어도 성립함. 

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Example 0

Original Theorem

• Theorem: 두 point를 지나는 유일한 line이 존재함.
  • 예: 점 $A$와 점 $B$가 주어지면, 이 두 점을 지나는 유일한 직선 $\ell$이 존재함.

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Application of duality(이중성) principle

• Dual Theorem: 두 line을 지나는 유일한 point가 존재함.
  • 예: 직선 $\ell_1$과 직선 $\ell_2$가 주어지면, 이 두 직선을 지나는 유일한 점 $P$가 존재함.

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이 두 정리는 서로 duality(이중성) 관계 (=dual realtionship)에 있음.

• 하나는 점과 직선의 관계를 나타내고,
• 다른 하나는 직선과 점의 관계를 나타냄.

Projective geometry에서 두 직선은 ideal point 에서 만나든지 일반 point에서 만나든지 둘 중에 하나임.
즉, 무조건 하나의 점에서 만남.

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Example 1

Original Theorem

• Theorem: 세 점이 동일한 직선 위에 있으면, 그 점들은 collinear(공선)임.

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Application of duality(이중성) principle

• Dual Theorem: 세 직선이 동일한 점에서 만나면, 그 직선들은 concurrent(공점)임.

위의 examples는
projective geometry(사영기하학)에서
duality(이중성)이 어떻게 작동하는지를 명확하게 보여줌.
각 theorem의 dual theorem은
원래 theorem에서 점과 직선의 역할을 바꾸어 얻은 것임.

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요약

• duality(이중성) 원리: projective geometry(사영기하학)에서 어떤 정리가 점과 직선에 대해 성립하면, 점과 직선의 역할을 바꾸어도 성립함.
• 예시:
  • 두 점을 지나는 유일한 직선이 존재함 ↔ 두 직선을 지나는 유일한 점이 존재함.
  • 세 점이 동일한 직선 위에 있으면 collinear(공선)임 ↔ 세 직선이 동일한 점에서 만나면 concurrent(공점)임.

이러한 duality(이중성) 원리는 projective geometry(사영기하학)에서 여러 정리와 성질들을 이해하고 증명하는 데 매우 유용한 도구임.

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