[Physics] 제2우주속도 & 제3우주속도 (Escape speed)

제2우주속도는 지구의 중력을 이겨내고 지구를 벗어나기 위한 임계속도(최소한의 속도)를 말함.

제3우주속도는 태양계를 벗어나기 위한 임계속도임.

 

인공위성은 지구로 계속해서 낙하운동을 하는 것으로 생각할 수 있는데, 제2우주속도 이상의 speed를 가질 경우엔 지상에서 위로 던져져서 내려오지 않는 것이라고 볼 수 있다. 해당 물체는 지구 주위 궤도를 도는 것이 아닌 지를 벗어나 정지함없이 이동을 하게 된다 (태양을 중심으로 돌게 됨). 제3우주속도 이상이면, 태양계를 벗어나 정지함없이 이동하게 된다. 아래그림에서 원궤도가 제1우주속도, 포물선궤도가 제2우주속도, 쌍곡선궤도가 제3우주속도에 해당함.

지구 탈출 속도. Ⓒ천문우주기획

유도

 

우선 질량이 $m$인 물체가 지표(지구의 CM에서 거리 $R$)에서 무한대로 가는데 필요한 energy는 다음과 같음.

$$\begin{aligned}E&=\int^\infty_R F dr\\&=\int^\infty_R\dfrac{GM_\text{earth}m}{r^2}dr\\&=\left.-\dfrac{GM_\text{earth}m}{r}\right|^\infty_R\\&=-0-\left(-\dfrac{GM_\text{earth}m}{r}\right)\\ &= \dfrac{GM_\text{earth}m}{R}\end{aligned}$$

 

이 에너지를 질량이 $m$인 물체에서 kinetic(운동) energy로 가져야하며 해당 kinetic energy는 다음과 같음.

$$E_k = \frac{1}{2}mv^2$$

 

즉, 운동에너지가 앞서 구한 지표에서 무한대로 가는데 필요한 에너지가 같아야 탈출이 되는 것이니 다음의 등식을 통해 escape speed를 구할 수 있음.

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}mv^2&=\dfrac{GM_\text{earth}m}{R} \\ v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\end{aligned}

 

위 공식에 지구의 질량과 반지름을 대입하면 바로 제2우주속도임.

$M_\text{earth}$대신 태양의 mass로 바꾸고, 반경도 태양에서 지구까지의 거리로 바꾸면 제3우주속도를 구할 수 있다.

 

여기서 구한 escape speed는 로켓등이 정지상태에서 추진력으로 사용한 초기속도만으로 지구 또는 태양계를 탈출하는 경우에 대한 값임. 로켓이 발사될 때에만 추진을 위한 연소만을 한다면 위의 속도가 필요하나, 보다 긴 시간동안 연소가 이루어지거나 계속해서 운동을 유지시키기 위한 힘을 가할 수 있다면 위의 escape속도가 아니더라도 탈출이 가능하다.

실제로 태양계를 벗어난 pioneer10호의 경우, 1972년 발사 당시 초기속력은 15km/s에 불과했으나 1984년 명왕성궤도를 통과했다.

 

2022.05.16 - [PET, MRI and so on./Physics] - [Physics] 제1우주속도

[Physics] 제1우주속도