[Physics] Kepler 3rd Law (케플러의 제3법칙)

케플러 제3법칙 유도

태양계의 행성들의 경우, 타원궤도이나 이심률이 작아 원궤도로 근사하고 Kepler의 제3법칙을 유도.

The square of the orbital period of a planet is directly proportional to the cube of the average distance of the planet from the Sun (for all planets)

 

우선 속력 $v$와 공전주기 $T$간의 다음 관계가 성립 (등속원운동으로 가정)

 

$$v=\dfrac{2\pi r}{T}$$

 

원궤도로 근사하고 구심력과 만유인력이 같다고 놓으면 다음과 같음.

 

$$\begin{aligned}\dfrac{mv^2}{r}&=G\dfrac{Mm}{r^2}\\\end{aligned}$$

where,

$r$ : 태양과 행성 사이의 평균 거리.

$M$ : 태양의 질량

$m$ : 행성의 질량

$v$ : 행성의 등속원운동에서의 속력.

 

위의 식에 속력 $v$를 공전주기 $T$에 대한 식으로 치환하고 정리하면 다음과 같음.

 

$$\begin{aligned}\dfrac{m4\pi^2 r^2}{rT^2}&=G\dfrac{Mm}{r^2}\\ \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}&=G\dfrac{M}{r^2} \\ \dfrac{T^2}{r^3}&=\dfrac{4\pi^2}{GM} \end{aligned}$$

 

즉, $\dfrac{T^2}{r^3}$는 상수로 일정함 ($G$는 만유인력상수이고 $M$은 태양의 질량에 해당하는 상수). 재밌는 건, 태양의 질량만이 관여하므로 모든 태양계의 행성들은 같은 값을 가지게 됨.

 

이로써 Kepler의 제3법칙을 유도했음.

단, 처음부터 애기 했지만, 원궤도로 근사했기 때문에 Kepler의 제 1법칙에 유배가 됨.

 

타원궤도로 유도는 생략.
확인해보고 싶다면 다음 url (Central force)참고.

References

https://www.youtube.com/watch?v=DROrEJK2F80