Closed-form solution and Closed-form expression

Closed-form solution

💡 Solution(해)이 closed-form expression으로 주어진 것을 가르킴.

다음의 문장들 은 위와 같은 뜻.

• 방정식(equation)을 analytic method로 solution을 구할 수 있다.
• equation의 solution이 closed-form solution으로 표현된다
• equation의 solution을 analytic하게 표현할 수 있다.
• equation에 analytic solution이 존재.

일반적으로 어떤 방정식(equation)에 대한 solution을 구할 때, 해당 solution이 closed-form expression으로 구해질 때, close-form solution을 가진다고 말한다.

대표적인 예가 quadratic equation $ax^2+bx+c=0$의 solution임.

$$ x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

iterative method 및 수치해석적 기법의 중요성

• $f^\prime(x)$를 알 때 $f$ 를 찾는 미분방정식 (편미분방정식 포함)과 같은 경우 극히 일부만이 analytic solution(=close-form solution)을 가지고 있음. (← 공학수학에서 그 고생을 한 것들이 결국 일부라는 애기. 실제 비선형 미분방정식이나 coefficient가 변수인 경우 close-form solution은 없다고 봐도 됨)
• 때문에 현실적인 공학 문제에서 미분방정식 (편미분방정식 포함)을 풀기 위해선 수치해석적 기법이 절대적으로 필요함.
• 더불어, 통계의 cdf들의 경우도 대부분 테이블로 제공이 되는 이유도 close-form solution이 없기 때문이다.

수치해석이란
컴퓨터를 이용하여 수학적인 문제를 해결(equation의 solution, 정확히는 approximation of solution을 구하기)하기 위한 방법에 관한 학문.

Closed-form expression

In mathematics,

• a closed-form expression is a mathematical expression (표현식) that
• uses a finite number of standard operations. (←유한한 갯수의 연산 으로 표현됨)

It may contain

• constants,
• variables,
• certain well-known operations (e.g., + − × ÷), and
• functions (e.g.,
  • n-th root,
  • exponent,
  • logarithm,
  • trigonometric functions, and
  • inverse hyperbolic functions),

but usually no (← 일반적으로 다음을 포함하지 않음.)

• limit, (극한)
• differentiation (미분), or
• integration (적분).

The set of operations and functions may vary with author and context. ← 이게 머리아픈 점.

Closed-form과 수학적으로 대비되는 개념은 바로

Open-form으로

• 쉽게 생각해서 유한한(finite)한 수학적 experssion이 불가 한 경우를 가르킴.
• 이 경우 대부분 iterative optimzation과 같은 수치해석적 기법을 이용한 approximation을 구하게 됨.

때문에 equation의 solution을 구하는 방법을 크게 analytic method와 iteratvie method로 구분하기도 함.

References

• (https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression)
• (https://adnoctum.tistory.com/294)
• (http://wanochoi.com/?p=5061)