Closed-form solution and Closed-form expression - Analytical Method

Closed-form solution: 

💡 Solution(해)이 closed-form expression으로 주어진 것을 가르킴.

 

다음의 문장들 은 위와 같은 뜻.

• 방정식(equation)을 analytical method로 solution을 구할 수 있다.
• equation의 solution이 closed-form solution으로 표현된다
• equation의 solution을 analytic하게 표현할 수 있다.
• equation에 analytic solution이 존재.

일반적으로 어떤 방정식(equation)에 대한 solution을 구할 때,

• 해당 solution이 closed-form expression으로 구해지는 경우,
• closed-form solution을 가진다고 말한다.

 

대표적인 예가 quadratic equation $ax^2+bx+c=0$의 solution임.

$$ x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

 

Closed-form solution을 가진다는 건,
Analytical Method 로 solution을 구할 수 있다는 것과 같은 의미임.

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Analytical Method란,

iterative numerical approximation(=iterative method, iterative numerical method)과 달리 

• 수학적 식(mathematical expressions)을 통해
• symbolic closed-form solution을 직접 유도하여
• 정확한 solution을 구하는 것을 의미함.

symbolic 이란

• 숫자값이 아니라,
• symbol과 variable을 통해 
• expression을 다루거나 해석하는 것을 의미함. 

다음과 같이 적분을 variable $x$와 상수를 나타내는 symbol $C$로 solution 구한 경우, symbolic solution임.

$$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C$$

다음은 Numerical approximate solution으로 expression이 아닌 수치적인 값만 존재함.

$$\int^2_0 x^2 dx \approx 2.67$$

구분	Symbolic	Numerical
처리 방식	Variables, Symbols	Numerical Values
Solutoin Type	Formula or Expression	Approximate Number
Representative Tools (대표적 툴)	SymPy, Mathematica, Maple	NumPy, SciPy
Use Cases (사용예)	Exact Solutions, Algegraic Forms	Simulations, Approximations

 

https://ds31x.tistory.com/442

[Py] SymPy (Symbolic Python) - Symbolic Computation

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iterative nemerical method 의 중요성

• $f^\prime(x)$를 알 때 $f$ 를 찾는 미분방정식 (편미분방정식 포함) 과 같은 경우, 극히 일부만이 analytical solution(=close-form solution)을 가지고 있음.
  • 공학수학에서 그 고생을 해서 배운 것들이 결국 일부에만 적용 가능하다는 애기.
  • 실제 비선형 미분방정식이나 coefficient가 변수인 경우 close-form solution은 없다고 봐도 됨
• 때문에 현실적인 공학 문제에서 미분방정식 (,편미분방정식 포함)을 풀기 위해선 Numerical Method(수치해석적 기법)가 절대적으로 필요함.
  • 참고로, 통계의 cdf들의 경우도 대부분 테이블로 제공이 되는 이유도 close-form solution이 없기 때문이기도 함.

Numerical Analysis(수치해석)이란
컴퓨터를 이용하여 수학적인 문제를 해결
(equation의 solution, 정확히는 approximation of solution을 구하기)
하기 위한 방법에 관한 학문.

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Closed-form expression

In mathematics,

• a closed-form expression is a mathematical expression (표현식) that
• uses a finite number of standard operations. (◁유한한 갯수 의 표준연산 으로 표현됨)

It may contain

• constants, (상수)
• variables, (변수)
• certain well-known operations (e.g., + − × ÷), and
• functions (e.g.,
  • n-th root,
  • exponent,
  • logarithm,
  • trigonometric functions, and
  • inverse hyperbolic functions),

but usually no (◁ 일반적으로 다음을 포함하지 않음.)

• limit, (극한)
• differentiation (미분), or
• integration (적분).

The set of operations and functions may vary with author and context. ◁ 이게 머리아픈 점.

https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression

Closed-form expression - Wikipedia

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수학에서 Closed-form과 대비되는 개념은 바로

Open-form으로

• 쉽게 생각해서 유한한(finite)한 수학적 experssion이 불가 한 경우를 가르킴.
• 이 경우 대부분 iterative optimzation과 같은 수치해석적 기법을 이용한 approximation을 구하게 됨.

Equation의 solution을 구하는 방법을
크게 analytic method와 iteratvie method로 구분하기도 함.

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References

• (https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression)
• (https://adnoctum.tistory.com/294)
• (http://wanochoi.com/?p=5061)