symmetric matrix

[LA] Orthogonal matrix (직교행렬)

Matrix의 row vector (and column vector)들이 자기자신을 제외한 나머지 row vector (and column vector)들과 orthonormal인 square matrix. $$ A^{-1}=A^T $$ 엄격히 애기해서 orthogonal matrix는 $A^{-1}=A^T$인 경우로 square matrix에서만 성립함. 이후 애기하는 orthonormal matrix라는 용어보다 좁은 범위임 → orthogonal matrix는 orthonormal column matrix 중 square matrix만으로 한정.($A^{-1}=A^T$) 하지만, vector에서 확장된 개념으로 이해하는 경우가 많아서 그런지 두 용어가 자주 혼재되지만 orthonormal matri..

[LA] Diagonalization, Orthogonal Diagonalization, and Symmetric Matrix

Diagonalizable sqaure matrix가 n개의 eigen value를 가지고, 이들 각각의 eigen value들이 각자의 multiplicity에 해당하는 dimension을 가지는 eigne space를 가지고 있는 경우에 해당. 각기 다른 eigen value의 eigen space들은 서로 linearly independet함 (orthogonal까지 보장하는 건 아님!). eigen value가 자신의 multiplicity(중복도)에 해당하는 dimension의 eigen space를 가진다면, $n\times n$ square matrix는 $n$개의 linearly independent한 eigen vector를 가짐. 이는 다음을 만족하는 invertible한 matrix ..