[SS] Discrete Sinusoidal Function : $2\pi$ 주기성

Frequency domain에서의 signal (or function)의 representation (표현)의 경우,

Basis(기저)로 특정 Frequency(주파수)에 대응되는 periodic function을 사용한다.

대표적으로, Fourier Transform의 경우,
sinusoidal function이 사용됨.

 

sinusoidal function이 discrete 해지는 경우, 주기성을 가지기 위해선 제한 조건이 발생한다.

• Continuous sinusoidal function은 항상 주기함수이지만,
• Discrete sinusoidal function은 그렇지 않다.

---

주기성을 가지려면

결론을 먼저 말하면,

Discrete sinusoidal function이
주기성을 가지기 위해선 
Frequency $F_0=\frac{\Omega_0}{2\pi}$가
rational number (유리수)여야 한다.

 

---

증명

이는 다음으로 증명가능하다.

periodic discrete function $x[n]$은 다음이 성립한다.

$$x[n]= x[n+N]$$

 

여기서 $N$이 주기임.

이를 complex exponential function으로 확장하면 다음과 같음.

$$e^{j \Omega_0 n}=e^{j\Omega_0(n+N)}=e^{j\Omega_0 n}\color{red}{e^{j\Omega_0 N} }\\ \color{red}{e^{j\Omega_0N}}=e^{j2\pi F_0 N}=\color{blue}{1=e^{j2\pi k}}  \\ F_0 N = k \\  \therefore F_0=\frac{\Omega_0}{2\pi}=\frac{k}{N} $$

 

$k$, $N$이 임의의 정수여야 하므로, $F_0$는 rational number가 됨.

 

즉, $F_0$가 rational number인 경우, 해당 frequency의 discrete sinusoidal은 periodic function (주기함수)이며 

Discrete Time Fourier Transform 등에서 basis로 사용가능함.

이를 angular frequency의 관점으로 말하면 다음이 성립해야 periodic임.

$$\Omega_0=\frac{2\pi}{N}k$$ 인 경우, discrete sinusoidal은 $N$을 주기로 갖는 periodic function임.

---

예제 1

아래 그림은 Discrete sinusoidal (cos)에 대해

• 주기성을 가지는 경우(왼쪽)와
• 비주기성을 가지는 경우 (오른쪽) 을 보여준다.

 

왼쪽의 주기신호인 경우, 12개의 sample을 주기($N$)로 하여 반복됨 (붉은 색 영역이 하나의 주기임)을 확인 할 수 있음.

이때, 해당 discrete sinusoidal function의 fundamental angular frequency $\Omega_0$는 다음이 성립함.

$$\Omega_0=\frac{2\pi}{N}=\frac{\pi}{6} \\ F_0=\frac{\Omega_0}{2\pi}=\frac{1}{12}=\frac{1}{N}$$

 

이에 반해,

오른쪽의 비주기인 경우는 미세하게 어긋나면서 주기성을 갖지 못하며, Frequency가 유리수(rational number)가 아님.

 

---

$2\pi$ 주기성의 특징

discrete sinusoidal signal의 경우, 주기성을 가지려면 위에서 살펴본 제한 조건을 가진다.

때문에 discrete sinusoidal signal은 모두 $2\pi$ 주기성을 가지게 되어

자신의 angular frequency에 대해 $2\pi$ 의 정수$k$ 배 만큼 차이나는 angular frequency의 discrete sinusoidal signal과 구분이 불가하다.

discrete sinusoidal의 경우,
$2\pi$의 정수 $k$배 만큼 떨어진 주파수를 가지는 신호들은
구분되지 않음

 

$$e^{j(\Omega_0+2\pi k)n} = e^{j\Omega_0n}e^{j2\pi k n} = e^{j\Omega_0 n}$$

 

이를 frequncy spectrum으로 나타나면 다음과 같음.

 

이는 주기가 $N$인 discrete sinusoidal 의 경우, 구분할 수 있는 주파수의 갯수가 $N$개로 한정됨을 의미함.

($2\pi k$를 더하면 구분이 불가하므로)

 

이는 discrete complex exponential 에도 똑같이 적용됨.

때문에 Discrete Time Fourier Series에서 $N=8$인 경우 구분 가능한 Harmonics는 $N=8$개에 불과함.

(이는 $N$주기의 discrete signal은 $N$개의 frequncy component로 구성됨을 의미함)

---

예제 2

 

다음 그림과 같이 sampling된 $cos[\pi n]$ 과 $\cos[3\pi n]$은 구분할 수 없음.

---

결론

• Discrete sinusoidal은 Frequency가 rational number여야 Periodic function임.
• Discrete sinusoidal은 $2\pi $의 정수 $k$배 만큼 차이나는 frequency를 가지는 sinusoidal과는 구분되지 않음.