0. Definition of Hermitian Matrix
모든 entity들에 complex conjugate를 취하고 Transpose를 할 경우, 자기자신이 나오는 matrix.
$$A={A^*}^T(=A^H)$$
Hermitian symmetry가 성립하는 matrix라고 볼 수 있음.
https://bme808.blogspot.com/2022/11/math-hermitian-symmetry.html
함수에서도 Hermitian symmetry가 가능한데, compelx conjugate를 가하는 건 같고
transpose는 독립변수에 reflection 연산을 취하는 것임.
$$f(-x)=f^*(x)\quad \text{or}\quad f(x)=f^*(-x)$$
$A$가 Hermitian matrix인 경우 다음이 성립함.
1.$\textbf{x}^HA\textbf{x}$는 항상 real number(실수)임.
$\textbf{x}^H$는 $\textbf{x}$에 대해 complex conjugate를 취하고 transpose를 시키는 conjugate tanspose를 의미함. vector외에 matrix에도 취할 수 있음.
우선, $\textbf{x}^HA\textbf{x}(={\textbf{x}^*}^TA\textbf{x})$는 scalar (or $1\times 1$ matrix)임 (quadratic form은 scalar-valued function).
- scalar의 경우, transpose를 취해도 같은 값임. (scalar를 $1\times 1 matrix$로 생각)
이에 따라 다음이 성립 [$z^*$는 $z$에 대한 complex conjugate를 의미함].
$$\left({\textbf{x}^*}^TA\textbf{x}\right)^*=\left[\left({\textbf{x}^*}^TA\textbf{x}\right)^*\right]^T=\left[\textbf{x}^TA^*\textbf{x}^*\right]^T={\textbf{x}^*}^T{A^*}^T\textbf{x}$$
위 식에서 $A$가 Hermitian matrix ($A={A^*}^T=A^H$)이므로, 다음이 성립함
$$\left({\textbf{x}^*}^TA\textbf{x}\right)^*={\textbf{x}^*}^T{A^*}^T\textbf{x}={\textbf{x}^*}^TA\textbf{x}$$
앞서 말한대로, scalar이므로 transpose해도 같아야 하며, 자신과 자신의 complex conjugate가 같으므로 ${\textbf{x}^*}^TA\textbf{x} (= \textbf{x}^HA\textbf{x})$는 real number이어야만 한다.
2.$A$ 의 eigen value는 모두 실수임.
$\lambda$를 $A$의 eigen value라고 하고, $\textbf{x}$를 $\lambda$에 대응하는 eigen vector라고 하면, 다음이 성립함.
$$\textbf{x}^HA\textbf{x}=\textbf{x}^H\lambda\textbf{x}=\lambda \textbf{x}^H\textbf{x}=\lambda \|\textbf{x}\|^2$$
$\textbf{x}^HA\textbf{x}$는 real number이며, $\|\textbf{x}\|^2$도 0이 아니므로(eigen vector는 정의에서부터 zero vector가 아니기 때문에 norm이도 0이 아닌 positive real number임), $\lambda$도 real number여야만 함.
3.$A$ 의 distinct한 eigen value들에 대응하는 eigen vector들은 서로 orthogonal함.
$\textbf{v}_1$과 $\textbf{v}_2$가 $A$의 eigen vector이고, 이에 대응하는 eigen value가 $\lambda_1,\lambda_2$라고 하면 다음이 성립함.
$$\begin{aligned} \lambda_1 \textbf{v}_1 \cdot \textbf{v}_2 &= (\lambda_1 \textbf{v}_1)^T \textbf{v}_2 = (A\textbf{v}_1)^T\textbf{v}_2 & \text{ Since } \textbf{v}_1 \text{ is an eigenvector} \\ &= (\textbf{v}_1^T A^T)\textbf{v}_2 = \textbf{v}_1^T (A \textbf{v}_2) & \text{ Since } A^T = A \\ &= \textbf{v}_1^T (\lambda_2 \textbf{v}_2) & \text{ Since } \textbf{v}_2 \text{ is an eigenvector} \\ &= \lambda_2 \textbf{v}_1^T \textbf{v}_2 = \lambda_2 \textbf{v}_1 \cdot \textbf{v}_2 \end{aligned}$$
$(\lambda_1 - \lambda_2) \textbf{v}_1 \cdot \textbf{v}_2 = 0$이 성립하는데, $\lambda_1 \ne \lambda_2$이므로 결국, 다음이 성립.
$$\textbf{v}_1 \cdot \textbf{v}_2 = 0. $$
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