[DIP] Modulation Transfer Function and Contrast

Modulation Transfer Function (MTF)

MTF can be defined as the magnitude of the Fourier transform of the point or line spread function.

• 입력신호가 어떤 장치-시스템을 통과하고 난 후 그 물리적 특성이 어떻게 변하는지를 나타내는 전달함수(Transfer Function : FT of Impulse Function)의 일종
• 시간(공간) domain에서 impulse response를 convolution하므로, frequency domain에서의 transfer function은 곱해짐. 

주기신호(or 주기적으로 pixel intensity가 변하는 영상)를 이용하여
특정 영상시스템의 해당 신호의 modulation Transfer Function (MTF)을 구하면,
이 MTF을 통해, 해당 영상시스템의 contrast를 정량적으로 평가할 수 있음.

MTF를 이해하기 위해, 우선 modulation을 설명한다.

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Modulation

"특정 신호 자체의 contrast를 정량적으로 나타낸 값"이라고 생각할 수 있음.

 

Modulation $m_f$의 수식은 다음과 같음.

$$m_f = \frac{f_\text{max} - f_\text{min}}{f_\text{max} + f_\text{min}}$$

• $f_\text{max}$ : 입력 주기신호에 대한 최대값.
• $f_\text{min}$ : 입력 주기신호의 최소값.

 

의미를 조금 풀어서 살핀 수식은 다음과 같음.

$$m_f = \frac{ \frac{f_\text{max} - f_\text{min}}{2}} {\frac{f_\text{max} + f_\text{min}}{2}}$$

• 분모는 입력 주기신호의 평균값이고, 분자는 해당 신호가 가지는 가장 큰 차이값임.
• 평균값에 대해 가장 큰 차이값이 어느 정도의 비(ratio)를 가지는지를 나타내는 것이 modulation이며, 이 값이 클수록 해당 신호는 차이가 큰 신호로 최대값과 최소값의 구분이 쉬운 신호, 즉 contrast가 높은 신호로 생각할 수 있음.

 

즉, modulation은 주기신호가 자신의 평균값에 대해 얼마나 contrast를 가지고 있는지를 나타냄.

• 해당 주기신호가 음수값을 가지지 않는다고 하면 modulation은 항상 $[0,1]$을 range로 가짐.
• modulation이 0인 경우, contrast가 없는 주기신호가 됨.
• average가 높은 경우 (모든 pixel에 일정한 값을 더해줄 경우 평균이 올라감), 분모가 커져 modulation이 작은 값을 가짐(contrast 감소)

 

다음 그림은 modulation에 따라 영상의 contrast가 어떤지를 정성적으로 보여줌.

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Modulation Transfer Function (MTF)

특정 영상시스템에서 입력신호의 modulation과 출력신호의 modulation의 비.

• modulation이 특정 주기(or 주파수 $f=\frac{1}{T}$의 신호에 대해 정해지므로, MTF는 주파수(or 주기)에 따라 다른 값을 가지게되어 주파수에 대한 함수로 표현됨 (nonisotropic system에서는 orientation도 독립변수로 주어짐).
• 영상시스템에서 MTF는 공간주파수에 대한 함수로 표현되며, "해당 공간주파수 성분이 해당 영상시스템에 의해 얼마나  degradation(나빠지는지)이 이루어지는지"를 나타냄 (MTF는 $[0,1]$를 range로 가짐)

 

MTF의 수식은 다음과 같음.

$$\text{MTF}(u)=\dfrac{m_\text{o}}{m_\text{i}}=\dfrac{|H(u)|}{|H(0)|}$$

• $H(u)$ : $H$는 impulse response $h(x)$에 대한 Fourier transform (=Frequncy Response)이며 주파수에 대한 함수임. frequncy $u$에 해당하는 성분이 전체 impulse response에 얼마나 기여하는지를 나타냄 .
• $H(0)$ : DC성분(주파수가 0인 성분)이 전체 impulse reponse에 얼마나 기여하는지를 나타냄.
• $| \cdot |$ : $\cdot$에 보통 어떤 함수가 들어가며, 해당 함수의 magnitude를 애기함 (간단한 예로 절대값을 들 수 있음.)
• $m_\text{o}$ : 출력 신호의 modulation, 해당 출력신호는 주파수가 $u$임.
• $m_\text{i}$ : 입력 신호의 modulation, 해당 입력신호는 주파수가 $u$임.

 

영상에서는 impulse reponse로 Point Spread Function(PSF)이 사용되므로, 영상시스템의 MTF에는 해당 시스템의 PSF가 영향을 줌.

 

다음 그림은 특정 축에 대해 주기성을 가지는 입력영상을 통해 MTF를 구한 것이라고 생각할 수 있음 

(보통 단순히 하기 위해 영상시스템이 circularly symmetric한 PSF를 갖는다고 생각하면 모든 축에 대해 MTF가 동일)

• DC성분과 낮은 공간주파수 성분은 해당 시스템에서 degradation이 일어나지 않고 출력에 기여하지만...
• $0.6mm^{-1}$이후로는 contrast가 매우 떨어지게 되는 것을 확인할 수 있음. (modulation이 절반 이하로 감소)
• 대부분의 영상시스템이 고주파 성분에서 degradation이 발생하는 MTF를 가짐. (고주파에서 높은 MTF를 가진다는 건 출력영상이 높은 공간해상도에서 높은 contrast를 가짐을 의미.)

 

다음 그림은 MTF를 잘 나타낸 그림이다. (Imaging lens를 영상시스템으로 생각해도 됨.

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MTF와 Spatial Resolultion

같은 shape의 MTF에서는 cut-off frequency를 통해 spatial resolution의 비교가 쉽게 가능하다.

하지만, 다음과 같이 MTF의 모양이 다른 경우엔 복잡하다.

 

• 시스템 1은 낮은 공간주파수 성분에서는 contrast가 우수하므로 coarse detail이 시스템2보다 좋다.
• 시스템 2는 높은 공간주파수 성분에서 contrast가 우수하고, 이는 fine detail을 나타내는데 장점을 가진다.

공간해상도는 MTF로 파악을 할 수는 있지만, 위와같은 이유로 PSF나 LSF (=시스템의 impulse response)의 FWHM로 나타내는게 훨씬 편하다.

일반적으로는 높은 공간주파수에서 큰 값을 가지면서 높은 cut-off frequency를 가지는 MTF에 해당하는 영상시스템이 보다 공간해상도가 좋다고 볼 수 있다.

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References

https://www.amazon.com/Medical-Imaging-Signals-Systems-2nd/dp/0132145189 : 3.2 Contrast

Amazon.com

https://www.dxomark.com/glossary/mtf-2/

MTF - DXOMARK