[Physics] 역학 문제 풀이

Problem 01

강 위 $50m$ 높이의 다리 위에서 소년이 돌($10\text{kg}$)/깃털($1\text{g}$)을 던지고 있음.

(a) 돌과 깃털을 위방향으로,

(b) 돌과 깃털을 아래방향으로

속력 15m/s 으로 던지면, 돌과 깃털의 각각 수면 위에 떨어지는 순간의 속력은 얼마인가? (자유낙하로 계산하시오.)

a)

$$ \begin{aligned}
v^2&=v_0^2 + 2as \\
v&= \sqrt{v_0^2 + 2as} \\
&=\sqrt{(+15)^2 + 2(-9.8)(-50)} \\
&=-34.7 (\text{m/s})\end{aligned}
$$

b)

$$ \begin{aligned}
v^2&=v_0^2 + 2as \\
v&= \sqrt{v_0^2 + 2as} \\
&=\sqrt{(-15)^2 + 2(-9.8)(-50)} \\
&=-34.7 (\text{m/s})\end{aligned}
$$

Problem 02

처음속력 10m/s로 위방향으로 던짐.

(a) 위방향으로 올라간 최대 거리는 얼마인가?

(b) 최대 높이까지 올라가는데 걸린 시간은 얼마인가?

a)

$$ \begin{aligned}
v^2&=v_0^2 + 2as \\
s&=\frac{v_0^2 - v^2}{2a} \\
&=\frac{0^2 - 10^2}{2\cdot 9.8} \\
&= 5.10 (\text{m})
\end{aligned}
$$

b)

$$ \begin{aligned}
v &= v_0 +at , a=-9.8 (\text{m/s})\\
t &= \frac{v-v_0}{a}\\
&={0-10}{-9.8}\\
&=1.02(\text{s})
\end{aligned}
$$

Problem 03

다음의 경우, air-drag는 무시하라.

• 어떤 탄환($3g$)의 최대 도달거리가 $1km$임.
  $g=10\left ( \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \right)$이라고 할 때(여기서 $g$는 그램이 아님), 총구에서 발사 빠르기는 얼마인가?
• 어떤 대포($4kg$)의 사정거리가 $100km$일 때, 대포 탄환이 발사되는 순간의 속력은 얼마인가?

horizontal velocity

$$ v_h(t) = v_{h}(0) = v \cos \theta $$

vertical velocity

$$ v_v(t) = v_{v}(0) - gt = v \sin \theta -gt $$

최고점 도달 시간 $T$

$$v_v(t)=0 = v \sin\theta -gT \rightarrow T=\frac{v \sin\theta} {g}$$

최대 도달거리 가는데 걸리는 시간 : $2T$

즉, 다음이 성립

$$ \begin{aligned}
2T v_h(t)&=2T v \cos\theta \\
&= 2 v^2 \cos\theta \sin\theta /g \\
&= \frac{v^2 \sin2 \theta}{g} \\
&= 1 (\text{km}
)
\end{aligned}
$$

최대 도달거리일 경우 $\sin 2\theta=1$ 이므로 다음이 성립.

$$ \begin{aligned}
v &=\sqrt{1000\cdot g} (m/s)\\
&= \sqrt {(1000\cdot10)} \\
&= 100 (\text{m}/\text{s})
\end{aligned}
$$

대포 의 경우,

$$\begin{aligned}
v&=\sqrt{(100000×10)} \\
&=1000 (\text{m}/\text{s})
\end{aligned}
$$

Problem 04

중력가속도를 $10\left ( \frac{m}{s^2} \right)$이라 할 때 지표면에서 무게가 $600N$인 학생이 엘리베이터 안의 저울 위로 올라갔다. 이때 저울의 눈금이 $720N$이라고 하면 엘리베이터는 어느 방향으로 어떤 가속도의 크기로 운동하고 있는가

무게는 중력에 의해 받는 힘.

$$mg = 600 (N) \rightarrow m=60 (kg)$$

무게가 증가했으므로 엘리베이터는 중력의 반대방향을 +라 할 경우 +의 가속도 운동을 하고 있음.
이 경우, 질량 $m$인 학생이 가속도 $a$로 운동하는 운동방정식은

$$ma= N-mg$$

$a$로 가속하고 있는 엘리베이터에서의 무게는 결국 수직항력 (N)과 같으므로,

$$ma = 720-600 = 120 \rightarrow a= 2.0 \left( \frac{m}{s^2} \right )$$

(학생과 엘리베이터는 같은 가속도로 운동 중임)

Problem 05

정지해 있던 원자 질량이 238u인 우라늄(U) 원자에서 질량이 4u인 알파입자가 튀어나오고, 남게 되는 원자핵은 그 반동으로 운동한다.
알파입자의 빠르기를 $v_0$라 하면, 붕괴 후 남은 새 원자핵의 빠르기는 얼마인가?
알파입자의 운동에너지는 새 원자핵 운동에너지의 몇 배인가?

Conservation of momentum에 의해

$$\begin{aligned} 234v+4v_{ 0 } & =238\cdot 0 \\ v & =\frac { -4v_{ 0 } }{ 234 } \end{aligned}$$

Kinetic energy의 공식으로 정리하면 다음과 같음.

$$
\begin{aligned}
E_k^{ \alpha } &=\frac { 1 }{ 2 } 4v_{ 0 }^{ 2 } \\
E_k^{ \text{new} } &=\frac { 1 }{ 2 } 234\left\{ \frac { -4v_{ 0 } }{ 234 } \right\} ^{ 2 } \\
&=\frac { 1 }{ 2 } 4\frac { 4v_{ 0 }^{ 2 } }{ 234 } \\
&=\frac { 4 }{ 234 } \frac { 1 }{ 2 } 4v_{ 0 }^{ 2 }\\
&=\frac { 4 }{ 234 } E_k^{ \alpha } \\
\therefore E_k^{ \alpha} &= \frac{234}{4}E_k^{ \text{new} }
\end{aligned}$$

Problem 06

마찰이 없는 평면 위에 질량이 $M$인 나무토막이 놓여 있다.
질량이 $m$인 공이 $x$축과 각 $θ$로 빠르기 $v$로 부딪친 후, 같은 각도와 같은 빠르기로 튀어나왔다.

• 공의 운동량(momentum) 변화량과 나무토막이 받은 충격량(impulse)을 구하라.
• 충돌 후 나무토막의 빠르기는 얼마인가?

공의 운동량 변화

$$mv\cos{\theta} \rightarrow-mv\cos{\theta}\\ \therefore \Delta P_m = -2mv\cos{\theta}$$

나무토막이 받은 impulse는 공의 잃은 momentum임.

$$\Delta P_M = 2mv\cos{\theta}$$

충돌후 나무토막의 빠르기는

$$\begin{aligned} Mv_{ M } &=2mv \cos { \theta } \\ v_{ M } & =\frac { 2mv\cos { \theta } }{ M } \end{aligned}$$

Problem 07

빠르기가 $v_0$인 양성자가 정지한 다른 양성자와 탄성충돌 한 후, 두 양성자는 입사한 양성자 방향을 기준으로 대칭적으로 똑같은 각도방향으로 산란되었다. 이때 대칭성으로 두 양성자의 빠르기는 같다.
충돌 후 양성자의 빠르기를 구하시오.
충돌 후 입사한 양성자 방향으로부터 두 양성자가 산란된 각도를 구하시오.

momentum conservation law에 의해 다음이 성립.

$$\begin{aligned} mv_0&=2mv\cos{\theta } \\ v &=\frac{v_0}{2\cos{\theta}}\end{aligned}$$

elastic collision이므로, kinetic energy가 보존됨

$$\begin{aligned} \frac { 1 }{ 2 } mv_{ 0 }^{ 2 } &= \frac { 1 }{ 2 } 2m \left\{ \frac { v_{ 0 } }{ 2\cos { \theta } } \right\}^2 \\ 1 &= 2\left\{ \frac {1}{4\cos^2{\theta}}\right\} \\ \cos^2{\theta} &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

$$ \therefore \theta=45°$$

Problem 08

경사각이 $30˚$인 경사면 위에 질량이 $20\text{kg}$인 물체가 놓여있음. ($g=10\frac{m}{s^2}$ 가정)

• 물체를 $15 ㎧$의 속력으로 바닥면 위치에서 경사면 위로 밀어 올렸을 때, 마찰력이 없는 경우 물체가 정지하기까지 비탈면을 따라 올라간 수직높이는 얼마인가?
• 물체와 경사면 사이에 마찰력이 있고 운동마찰계수가 0.4라면, 물체가 정지하기 까지 비탈면을 따라 수직으로 올라간 높이는 얼마인가?

kinetic energy가 모조리 potential energy로 전환됨 (friction이 없으므로)

$$E_{ k }=\frac { 1 }{ 2 } \cdot 20\cdot { 15 }^{ 2 }={ E }_{ p }=20\cdot 10\cdot h\ \therefore h=\frac { \frac { 1 }{ 2 } \cdot 20\cdot { 15 }^{ 2 } }{ 20\cdot 10 } =11.25m$$

friction이 있으므로 normal force를 구해야함.

경사각이 30도 이므로 normal force는

$${F }_{N }=\cos {30 ° } \cdot10\cdot 20$$

energy conservation law를 적용하면

$$\frac { 1 }{ 2 } \cdot 20\cdot { 15 }^{ 2 }-0.4\cdot \cos { 30° } \cdot 10\cdot 20\cdot \frac{ h}{ \sin { 30° }} =20\cdot 10\cdot h\\ \frac { 1 }{ 2 } \cdot 20\cdot { 15 }^{ 2 }=(20\cdot 10+0.4\cdot \cos { 30° } \cdot 10\cdot 20\frac{1}{ \sin { 30° }} )h\\ \therefore h=6.6457m $$