독립인 두 확률변수의 합의 PDF는 convolution으로 구함.

이 문서는
독립인 두 random variable 의 합에 대한 PDF 가
각각의 Probability Distribution Function(PDF) 의 convolution 임을 보임.

$$
Z=X+Y,\qquad X\perp Y
$$

 

각각의 PDF 는 다음과 같이 표기함:
$$
f_X(x),\qquad f_Y(y)
$$

 

random variable(확률변수)란? : 2023.03.09 - [.../Math] - [Math] Random Variable

[Math] Random Variable

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1. 합의 CDF 표현

확률분포를 나타내는 Probability Distribution Function (PDF)는
Cumulative Distribution Function (CDF)로 주어짐.

2024.04.18 - [.../Math] - [Math] Probability Distribution

[Math] Probability Distribution

 

$z$의 CDF 는 다음과 같이 random variable $Z$가 주어진 값 $z$ 이하일 확률임:
$$
F_Z(z)=P(Z\le z)=P(X+Y\le z)
$$

 

$X=x$ 일 때, 합이 $z$ 이하라는 조건은 다음과 같음:
$$
x+Y\le z
\quad\Longleftrightarrow\quad
Y\le z-x
$$

 

두 random variable 이 독립이므로, $X=x$ 일 때의 $Y$ 의 분포는 $Y$ 의 marginal distribution 과 같음.

$$P(Y\le z-x\mid X=x)=F_Y(z-x)$$

• $X=x$ 라는 조건이 $Y$ 의 분포에 영향을 주지 않는다는 독립성 때문에 위의 등식이 성립

위의 수식을 좀더 엄밀하게 쓰면 다음임:

독립이므로 거의 모든 $x$ 에 대해 $Y$ 의 conditional distribution 은 marginal distribution 과 같음:

$$F_{Y\mid X=x}(z-x)=F_Y(z-x)$$

 

참고로, Marginal distribution 은
joint distribution 에서 나머지 random variable 의 값을 모두 합하거나 적분하여
특정 random variable 의 분포만으로 나타낸 것임.

 

따라서 $X$ 의 가능한 값에 대해 해당 확률을 $f_X(x)$ 로 가중하여 적분:
$$
\begin{aligned}
F_Z(z)
&=\int_{-\infty}^{\infty}P(Y\le z-x\mid X=x)f_X(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}F_Y(z-x)f_X(x)\,dx
\end{aligned}
$$

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2. CDF 를 미분하여 PDF 계산

미분과 적분의 순서를 바꿀 수 있는 조건에서,
CDF 를 $z$ 에 대해 미분하면 PDF 를 얻음:
$$
\begin{aligned}
f_Z(z)
&=\frac{d}{dz}F_Z(z)\\
&=\frac{d}{dz}\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)F_Y(z-x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx
\end{aligned}
$$

• 적분 안에서 $z$ 에 따라 변하는 항은 $F_Y(z-x)$ 뿐임.
• $z$ 를 조금 바꿀 때 각 항의 변화율은 $f_Y(z-x)$ 이므로, 각 변화율에 $f_X(x)$ 를 곱해 적분하면 전체 적분의 변화율을 얻음.
• 일반적으로 PDF가 존재하는 경우, 모든 $z$ 에서 미분과 적분의 순서를 바꿀 수 있음.

 

앞서 본 적분은 두 PDF 의 convolution 에 해당함:

$$
\boxed{
f_{X+Y}(z) =(f_X*f_Y)(z) =\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx }
$$

2026.09.21 - [.../Signals and Systems] - Convolution 합성곱

Convolution 합성곱

 

즉, 합이 $z$ 가 되는 모든 $X$와 $Y$의 조합에서 두 PDF 의 값을 곱한 뒤 적분한 결과임.

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참고1:

Independence 에 따라 두 random variable 의 joint PDF 는 각 PDF 의 곱으로 표현됨.

$$
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
$$

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참고2:

Expectation의 Lineary 덕분에 $X$와 $Y$가 Independence 인 경우 다음이 성립함:

$$\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$$

 

때문에 다음이 성립함

$$\sigma (X+Y) =\sqrt{ \sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2 }$$

 

 

2023.08.14 - [.../Math] - [Math] Random Variable의 연산에 따른 Mean과 Variance.

[Math] Random Variable의 연산에 따른 Mean과 Variance.

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응용

서로 독립인 여러 white gaussian noise들의 확률분포와 그 정도를 수량하는데 사용가능함.

 

서로 독립인 여러 white Gaussian noise 의 합은

• Gaussian distribution 을 유지하며,
• 각 noise 의 variance 를 합산하여 전체 noise 의 크기를 정량화할 수 있음.