Radon Transform and Inverse Radon Transform-FBP

정의

Radon Transform(라돈 변환)은

• n차원 함수 $f(\textbf{x})$를 : ($\textbf{x}$는 n차원 vector임)
• $(n-1)$차원 hyperplane(초평면)에 대해
• projection integral(투영적분)한 값을 나타내는 transform(변환)

이를 2D와 3D의 경우로 다시 표현하면 다음과 같음:

• 2D Radon Transform: 2차원 함수 $f(x,y)$를 모든 직선(line)에 대해 projection integral(투영적분)한 값을 나타내는 변환.
• 3D Radon Transform: 3차원 함수 $f(x,y,z)$를 모든 평면(plane)에 대해 projection integral(투영적분)한 값을 나타내는 변환.

의공학개론 5-3-1. (군자출판사, 2025) : 2D Radon Transform

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참고: projection 과 projection integral

참고로, 엄밀한 수학적 정의로는 projection integral이 맞지만,
실제 의료영상 맥락에서는 보통 projection이라는 용어로 간단히 표현하는 경우가 많음.

 

영상 분야(특히 CT, PET, SPECT)에서는 Radon Transform의 결과를 흔히

• “projection(투영)”
• 또는 angle까지 포함하면 “projection data(투영 데이터)”

라고 줄여서 부름.

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참고: sinogram

여러 각도들로 projection data를 얻고 이들을 모아 하나의 데이터로 만든 것을 sinogram 이라고 부름.

sinogram = set of projections at different angles

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역사

1917년 오스트리아 수학자 Johann Radon이 제안한 변환으로
2차원 또는 3차원 객체를 다양한 각도에서의 투영(projection) 연산을 통해 시노그램 (sinogram)으로 변환하는 수학적 기법임.

 

오늘날 CT, SPECT, PET 과 같은 의료영상의 핵심적인 원리로 사용되고 있음.

Radon Transform은
X선 기반의 투과영상(transmission image, transmission tomography)과
방사성 동위원소를 이용하는 방출영상(emission image, emission tomography)으로
구성되는 단층촬영(tomography) 기술의 이론적 기반을 제공함.

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Mathematical Formulation

Radon Transform의 수식은 다음과 같음 (2D 기준):

$$p(\rho,\theta) = \underset{\mathbb{R}^2}{\iint} f(x,y)  \delta(\rho - x\cos\theta - y\sin\theta) dx dy$$

• $f(x,y)$: 원래의 2D 함수 (예: 이미지, 인체의 한 슬라이드 단층영상)
• $\rho$: 원점으로부터 projection(투영직선)까지의 거리, r로도 많이 표기됨(radial distance)
• $\theta$: 투영직선의 방향(회전 각도, 투영각), view 또는 view angle이라고도 많이 표기됨.
• $\delta(\cdot)$: Dirac delta 함수, 투영 직선을 따른 샘플링을 의미함.

즉, $p(\rho,\theta)$는 \theta 방향이며 원점에서 $\rho$만큼 떨어진 투영라인을 투영적분(~projection, forward projection)한 투영임.

다음 그림은 view=0도 인 경우, projection을 간단히 도식화한 그림임

의공학개론 5-3-2. (군자출판사, 2025) : 단일 투영각의 projection (오른쪽 상단의 투영결과가 좌우가 바뀐 상태임. ㅠㅠ)

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Sinogram : tomographic imaging system의 raw data

• CT, PET, SPECT 등 투영 기반 영상에서는 물체를 통과한 신호(광자, 감마선 등)가 검출기에 도달하는데, 이 값은 결국 특정 각도에서 물체의 선적분(line integral)임.
  • 앞서의 projection integral과 여기서의 line integral은 같은 연산의 의미함.
• 라돈 변환은 바로 이 특정각도에서의 선적분을 수학적으로 기술한 것임.
• 따라서 CT에서 각도별 projection integral을 모아 얻는 sinogram(시노그램)은 바로 라돈 변환의 결과임.
  • 해당 sinogram은 CT의 raw data라고 불림.

의공학개론 5-3-3. (군자출판사, 2025) : 2D Radon Transform과 singoram

CT, PET, SPECT 는 물리적인 라돈 변환기 라고 생각할 수 있음.
이들은 인체의 단층영상에 대한 sinogram 을 측정함.

다음은 Detector간의 Line of Response를 통한 sinogram이 만들어지는 PET에서의 projection data를 보여줌:

https://youtu.be/RaTr8HbMcfw

 

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Inverse Radon Transform (Image Reconstruction)

• Radon Transform은 image를 projection으로 바꾸는 연산으로,
• 여러 view에 대해 수행하면 sinogrma 이 얻어짐.
• 이의 역변환이 Inverse Radon Transform임.

CT, PET, SPECT등의 투영기반 영상기기에선 Inverse Radon Transform(역라돈 변환)을 통해 sinogram으로부터 원래 이미지를 복원함.

• 영상으로 다시 만드는 것을 Image Reconstruction(영상재구성) 이라고 부르며, Randon Transform기반의 의료영상기기에서의 Image Reconstruction은 결국 Inverse Radon Transform을 의미함.
• 실제 CT 재구성에서 사용하는 Filtered Back Projection (FBP) 알고리즘은 Inverse Radon Transform의 대표적인 구현물임.

의공학개론 5-3-5. (군자출판사, 2025) : Filtered Back-Projection의 과정과 결과

참고로, filtering (일종의 high pass filter임) 없이 back-projection 만을 수행한 경우 다음과 같이 blurred image를 얻음:

이는 1/r blurring (radial blurring, star artifact) 때문임:

동일한 정보가 여러 방향에서 중첩되면서 중심부로 갈수록 과도한 누적이 일어나 방사형(radial)으로 번지는 흐릿함 을 의미.

원점에서 멀어질수록(큰 r) 작은 값을 가지는 kernel로 convolution된 결과와 같기 때문에 1/r blurring이라고 불림.

의공학개론 5-3-4. (군자출판사, 2025) : simple back projection 과 1/r blurring.

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FBP은 이상적으로는 역라돈변환과 동일하지만, 실제 의료영상 환경에서는 여러가지 제약으로 인해 FBP보다 ‘반복적 재구성(iterative reconstruction)’이 더 널리 사용됨(이는 주로 노이즈와 이산화된 데이터 등의 문제 때문임)

 

"반복적 재구성" 은 이름 그대로 여러 번의 계산을 반복하여 영상을 재구성한다. 각 반복(iteration) 단계마다 현재 추정 중인 이미지로부터 얻어진 추정된 singogram과 실제 측정된 sinogram 데이터를 비교하며 차이를 줄이는 방향으로 현재 추정 중인 이미지를 갱신하는 방식으로 동작한다.

FBP와 같이 하나의 투영각마다 한 번의 역투영으로 재구성이 이루어지는 알고리즘을
analytic reconstruction 이라고 부른다.
이와 달리 iterative reconstruction은
하나의 투영각 데이터에 대해 여러 차례 역투영이 이루어진다.

 

대표적인 반복적 재구성 알고리즘으로는 maximum likelihood expectation maximization(MLEM)와 ordered subset expectation
maximization(OSEM), Maximum A Posteriori (MAP) 등이 있음.

 

Iteratrive Reconstruction(반복적 재구성)은 실제 의료 영상 기기의 물리적 특성을 고려하여 영상재구성을 할 수 있기 때문에 SNR이 낮은 raw data에서도 더 정확한 영상을 재구성(reconstruction)할 수 있다. 다만, 반복적 재구성은 FBP와 달리, 단일 투영각의 데이터에 대해 수십에서 수백 차례의 역투영의 반복을 필요로 하기 때문에 요구되는 계산량이 많다는 단점을 가진다.
초기에는 계산량 문제로 널리 사용되지 못했으나, 컴퓨팅 기술의 발전으로 오늘날에는 분석적 재구성보다 반복적 재구성이 더 선호되는 추세임(low-dose CT등의 등장과 함께 그 중요도가 커지고 있음)

2025.11.10 - [정리필요./PET, MRI and so on.] - Maximum-Likelihood Expectation-Maximization

Maximum-Likelihood Expectation-Maximization

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요약

• Radon Transform은 이미지를 다양한 각도의 투영 데이터(sinogram)로 바꾸는 수학적 도구이며, Inverse Radon Transform을 통해 다시 원래의 이미지를 복원할 수 있음.
• Radon Transform은 CT, PET, SPECT와 같은 투영 기반 의료영상의 수학적 기반을 제공함.

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같이보면 좋은 자료들

의공학개론 5-3장 (대한의용생체공학회, 군자출판사 2025)

군자출판사

2025.09.02 - [정리필요./PET, MRI and so on.] - Radon Transform 의 간단한 예제 - MATLAB

Radon Transform 의 간단한 예제 - MATLAB

https://gist.github.com/dsaint31x/89f058d635a18a8fe873442f079392b4

pet_projection_simul.ipynb