Vanishing Point 유도

직선의 vector representation:

• 직선의 시작점 $\mathbf{P}_0$ 에서 방향벡터 $\mathbf{D}$ 로 직선 뻗어나가는 모습을 나타냄.
• 직선 위의 임의의 점은 $\mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0 + t\mathbf{D}$ 임.

homogeneous coordinates로 표시됨:

2024.06.16 - [.../Math] - [Math] Homogeneous Coordinate and Projective Geometry

[Math] Homogeneous Coordinate and Projective Geometry

---

직선은 ideal point at infinity (무한점)으로의 converge

다음은 직선 상의 점 $\mathbf{P}(t)$를 homogeneous coordinates 로 나타냄:

$$\mathbf{P}(t) = \begin{bmatrix} P_X + tD_X \ P_Y + tD_Y \ P_Z + tD_Z \ 1 \end{bmatrix}^\top$$

이를 $t$로 나눈 형태로 바꾸면 다음과 같음:
$$\mathbf{P}(t) \equiv \begin{bmatrix} \frac{P_X}{t} + D_X \ \frac{P_Y}{t} + D_Y \ \frac{P_Z}{t} + D_Z \ \frac{1}{t} \end{bmatrix}^\top$$

여기서 $t \to \infty$ 로 처리하면, 각 항의 $P/t$들은 모두 0 으로 수렴.

$$\boxed{\mathbf{P}_\infty \equiv \begin{bmatrix} D_X \ D_Y \ D_Z \ 0 \end{bmatrix}^\top}$$

바로 위의 $\mathbf{P}_\infty$가 직선의 orientation이 결정하는 ideal point at infty (무한점)임.

---

Vanishing Point는 Ideal Point의 Image Plane에 투영된 것

Vanising Point $\textbf{v}$는 이 $\mathbf{P}_\infty$ 를 이미지 평면에 투영한 결과임.

즉, Projection Matrix (투영행렬) $\text{Proj}$ 적용

카메라 투영행렬은 다음과 같음:

$$\text{Proj}=K[R|\mathbf{T}]$$

여기서,

• $\mathbf{P}_\infty$는 마지막 좌표가 0이므로
• translation(병진) $\mathbf{T}$의 영향을 받지 않음

때문에 다음이 성립함.

$$\mathbf{v} \sim KR\mathbf{D}$$

위의 식이 image plane 상의 소실점 $\mathbf{v}$임.

---

카메라좌표계와 월드좌표계가 일치할 경우

$R =I$ 로, 즉 월드 좌표계와 카메라 좌표계의 축이 perfectly aligned 되어 있는 상황임.

 

앞서의 일반식은 다음과 같음

$$\boxed{\mathbf{v} \sim KR \mathbf{D}}$$

 

여기서 $R=I$라고 하면 다음과 같이 단순화됨.

$$\mathbf{v} \sim K \mathbf{D}$$

 

* 방향벡터 $\mathbf{D} = [D_X, D_Y, D_Z]^\top$는 이미 카메라 좌표계와 같은 축을 사용한다고 가정 (별도의 회전이 필요 없음)
* 즉, ideal point at infinity는 intrinsic matrix $K$로만 변환.

 

다음 글에서 intrinsic matrix와 extrinsic matrix로 perspective projection이 이루어지는 방식을 참고할 것:

2024.06.22 - [Programming/DIP] - [CV] Geometric Camera Model and Camera Calibration: Pinhole Camera

[CV] Geometric Camera Model and Camera Calibration: Pinhole Camera

---

Homogeneous Coordinates로 계산

intrinsic matrix $K$는 다음과 같음:

$$K = \begin{bmatrix}
f_x & s & c_x \\
0 & f_y & c_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$

• 보통 skewed 왜곡이 없으면 $s=0$
• isotropic sensor 인 경우 $f_x=f_y=f$
• $c_x,c_y$는 principal point: 실제 image sensor plane에 optical axis가 교차하는 점.
  • 이상적인 경우엔 optical point와 일치하나 lens의 오차 등으로 어긋날 수 있음.

즉, ideal point 의 projection 은 다음이 됨:
$$\mathbf{v} = K \mathbf{D} = \begin{bmatrix}
f_x D_X + s D_Y + c_x D_Z \\
f_y D_Y + c_y D_Z \\
D_Z
\end{bmatrix}$$

---

2D 이미지 좌표로 정규화

최종적으로 이미지 평면상의 vanishing point의 좌표는 다음과 같이 homogeneous coordinates로 정규화:

 

$$\boxed{
(v_x, v_y) = \left(\frac{f_x D_X + s D_Y + c_x D_Z}{D_Z},; \frac{f_y D_Y + c_y D_Z}{D_Z}\right),
}$$

---

같이보면 좋은 자료들

2024.06.29 - [Programming/DIP] - [CV] Coordinate Systems

[CV] Coordinate Systems

2024.06.16 - [.../Math] - [Math] Homogeneous Coordinate and Projective Geometry

[Math] Homogeneous Coordinate and Projective Geometry

2024.07.06 - [Programming/DIP] - [CV] Perspective Projection (원근 투영법): Camera to Image

[CV] Perspective Projection (원근 투영법): Camera to Image

---