Fourier Transform of Gaussian Function

Fourier Transform of Gaussian Function

다음과 같은 Gaussian Function 이 있다고 하자:

$$
x(t)=e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}, \quad \sigma>0
$$

 

해당 Gaussian Function 의 Fourier Transform 을 다음과 같이 정의함:

$$
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}
x(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t
$$

 

Fourier Transform 을 $\omega$에 대해 미분함.

• 적분 안에서 $\omega$에 따라 변하는 항은 Fourier kernel 임.
• Fourier kernel 을 $\omega$에 대해 미분하면 $-jt e^{-j\omega t}$가 됨.

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}X(\omega)}{\mathrm{d}\omega} &= -j\int_{-\infty}^{\infty}
t x(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t
\end{aligned}
$$

 

한편, Gaussian Function $x(t)$를 $t$에 대해 미분:

• Exponential function 의 미분에는 지수부의 미분이 곱해짐.
• 지수부 $-t^2/(2\sigma^2)$를 미분하면 $-t/\sigma^2$가 됨.

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} &=
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} \\ &= e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\left(-\frac{t^2}{2\sigma^2}\right) \\ &= -\frac{t}{\sigma^2}
e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} \\ &= -\frac{t}{\sigma^2}x(t)
\end{aligned}
$$

 

양변에 $-\sigma^2$를 곱하면 $t x(t)$를 $x(t)$의 미분으로 나타낼 수 있음:

$$
t x(t) = -\sigma^2\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}
$$

 

이를 $\frac{\mathrm{d}X(\omega)}{\mathrm{d}\omega}$에 대입:

$$\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}X(\omega)}{\mathrm{d}\omega} &= -j\int_{-\infty}^{\infty}
\left( -\sigma^2\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}
\right)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t \\ &=
j\sigma^2
\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}
e^{-j\omega t}\mathrm{d}t
\end{aligned}$$

 

적분항에 부분적분을 적용:

• $x(t)$는 $t\to\pm\infty$에서 0으로 수렴하므로 경계항은 0임.
• Fourier kernel 을 $t$에 대해 미분하면 $-j\omega e^{-j\omega t}$가 됨.
• 따라서 남은 적분은 $j\omega X(\omega)$임.

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}e^{-j\omega t}\mathrm{d}t &= \left[x(t)e^{-j\omega t}\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}
x(t)\left(-j\omega e^{-j\omega t}\right)\mathrm{d}t \\ &=
j\omega
\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t \\ &=
j\omega X(\omega)
\end{aligned}$$

 

따라서 $X(\omega)$는 다음 미분방정식을 만족:

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}X(\omega)}{\mathrm{d}\omega} &=
j\sigma^2\left(j\omega X(\omega)\right) \\ &= -\sigma^2\omega X(\omega)
\end{aligned}
$$

 

이 미분방정식에서 $X(\omega)$와 $\omega$에 관한 항을 각각 분리:

• 양변을 $X(\omega)$로 나누어 $X(\omega)$가 포함된 항을 왼쪽에 둠.
• 양변에 $\mathrm{d}\omega$를 곱해 미분항을 분리함.

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}X(\omega)}{\mathrm{d}\omega} &= -\sigma^2\omega X(\omega) \\
\frac{1}{X(\omega)}
\frac{\mathrm{d}X(\omega)}{\mathrm{d}\omega} &= -\sigma^2\omega \\
\frac{1}{X(\omega)}\mathrm{d}X(\omega) &= -\sigma^2\omega\mathrm{d}\omega
\end{aligned}
$$

 

양변을 각각 적분함:

• 왼쪽은 $X$에 대한 적분이므로 $\ln X(\omega)$가 됨.
• 오른쪽은 $\omega$에 대한 적분이므로 $-\sigma^2\omega^2/2$가 됨.
• 부정적분에는 적분상수 $C$가 포함됨.

$$
\begin{aligned}
\int\frac{1}{X(\omega)}\mathrm{d}X(\omega) &= -\sigma^2\int\omega\mathrm{d}\omega \\
\ln X(\omega) &= -\frac{\sigma^2\omega^2}{2}+C
\end{aligned}
$$

 

양변에 exponential 을 적용해 $X(\omega)$를 정리함:

• $e^C$는 $\omega$와 무관한 상수이므로 새로운 상수 $C_1$로 둠.

$$
\begin{aligned}
X(\omega) &=
e^{-\frac{\sigma^2\omega^2}{2}+C}\\ &=
e^C e^{-\frac{\sigma^2\omega^2}{2}}\\ &=
C_1e^{-\frac{\sigma^2\omega^2}{2}}
\end{aligned}
$$

상수 $C_1$은 $\omega=0$을 대입하여 구함:

• $\omega=0$에서는 Fourier kernel 이 1이 됨.
• 따라서 $X(0)$은 Gaussian Function 의 전체 면적임.
• 변수 치환 $u=t/(\sqrt{2}\sigma)$를 적용하면 $t=\sqrt{2}\sigma u$, $\mathrm{d}t=\sqrt{2}\sigma\mathrm{d}u$임.
• $\sigma>0$이므로 적분 구간은 변수 치환 후에도 $-\infty$부터 $\infty$까지임.

$$
\begin{aligned}
X(0)
&=
\int_{-\infty}^{\infty}
e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}\mathrm{d}t\\
&=
\sqrt{2}\sigma
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\mathrm{d}u
\end{aligned}
$$

 

Gaussian integral 의 값을 구하기 위해 다음과 같이 둠.

$$
I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\mathrm{d}u
$$

 

$I$는 양수이므로 $I^2$를 두 개의 적분의 곱으로 나타낼 수 있음.

두 적분의 변수 이름을 각각 $u$, $v$로 두면 $u$-$v$ 평면 전체에 대한 이중적분이 됨.

$$
\begin{aligned}
I^2 &=
\left(
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\mathrm{d}u
\right)
\left(
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-v^2}\mathrm{d}v
\right)\\ &=
\int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty}
e^{-(u^2+v^2)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v
\end{aligned}
$$

 

이제 $u$-$v$ 평면의 직교좌표를 polar coordinates 로 바꿈.

• $r$은 원점에서 점 $(u,v)$까지의 거리임.
• $\theta$는 양의 $u$-축에서 점 $(u,v)$까지의 각도임.
• 따라서 $u=r\cos\theta$, $v=r\sin\theta$로 나타냄.
• $r$-$\theta$ 좌표에서 면적 요소는 Jacobian $r$을 포함하여 $\mathrm{d}u\mathrm{d}v=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$가 됨.
• 평면 전체를 적분하므로 $r$은 0부터 $\infty$, $\theta$는 0부터 $2\pi$까지 적분함.

$$
\begin{aligned}
u&=r\cos\theta \\
v&=r\sin\theta \\
u^2+v^2 &=
(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2\\ &=
r^2\\
\left|
\frac{\partial(u,v)}{\partial(r,\theta)}
\right| &=
\left|
\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{vmatrix}
\right|\\ &=
r\\
\mathrm{d}u\mathrm{d}v &=
r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
\end{aligned}
$$

 

이를 이중적분에 대입함. 지수부의 $u^2+v^2$는 $r^2$로 바뀌고,  

면적 요소에는 Jacobian 에서 나온 $r$이 곱해짐:

$$
\begin{aligned}
I^2 &=
\int_{0}^{2\pi}
\int_{0}^{\infty}
e^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\\ &=
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta
\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}r\mathrm{d}r\\ &=
2\pi
\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_{0}^{\infty}\\ &=
2\pi\left(0+\frac{1}{2}\right)\\ &=
\pi \end{aligned}
$$

 

$I>0$이므로 $I=\sqrt{\pi}$임.  

이를 $X(0)$에 대입:

$$
\begin{aligned}
X(0) &=
\sqrt{2}\sigma I\\ &=
\sqrt{2}\sigma\sqrt{\pi}\\ &=
\sigma\sqrt{2\pi}
\end{aligned}
$$

 

그러므로 $C_1=\sigma\sqrt{2\pi}$이며, 해당 Gaussian Function 의 Fourier Transform 은 다음과 같음:

$$
\therefore
\mathcal{FT}\left[e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}\right] = \sigma\sqrt{2\pi}e^{-\frac{\sigma^2\omega^2}{2}}
$$

 

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같이보면 좋은 자료들

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Normal Distribution (정규분포, Gaussian Distribution)

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2023.10.13 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform Table

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