Fundamental Photon Attenuation Law

Linear Attenuation Coefficient

Linear Attenuation Coefficient의 정의는 다음과 같음:

$$\mu=\frac{n/N_{\mathrm{in}}}{\Delta x}$$

• $N_{\mathrm{in}}은$ 두께 $\Delta x$인 얇은 물질층에 입사하는 광자 수이고,
• $n$은 해당 층에서 소실되는 광자 수임.

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Fundamental Photon Attenuation Law

즉 다음이 성립:

$$n=\mu N_{\mathrm{in}}\Delta x$$

 

얇은 층을 통과한 후의 광자 수를 N'이라 하면 다음과 같음:

$$N'=N_{\mathrm{in}}-n$$

 

따라서 광자 수의 변화량은 다음과 같음.

$$\begin{aligned}\Delta N&=N'-N_{\mathrm{in}} \\ &=-\mu N_{\mathrm{in}}\Delta x\end{aligned}$$

 

연속적인 변화로 나타내면 다음과 같음.

$$dN(x)=-\mu N(x) dx$$

 

변수분리함.

$$\frac{dN(x)}{N(x)}=-\mu dx$$

 

경계조건과 $N'(x)$은 같음:

• $N(0)=N_0$
• $N(\Delta x)=N$
• $N'(x) = \dfrac{dN(x)}{dx} \leftrightarrow dN(x)= N'(x)dx$

적분하면 다음을 얻음.

$$\int_0^{\Delta x}\frac{1}{N(x)} dN(x) = -\mu\int_0^{\Delta x}dx \\ \ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\mu\Delta x$$

 

따라서 fundamental photon attenuation law는 다음과 같음.

$$N=N_0e^{-\mu\Delta x}$$

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Heterogeneous Medium and Polyenergetic Photons

주의할 점은

Polyenergetic photon의 경우, 각 에너지 성분에 대해 다른 linear attenuation coefficient를 가짐.

때문에 같은 매질에서도 각 에너지 성분에 대해 다른 고려를 해야함.

https://www.eecis.udel.edu/~arce/files/Courses/DigImgProc/Chapter8-Imaging.pdf

또한 photon이 지나는 매질의 성분이 다를 경우, linear attenuation coef.도 다를 수 있음:

• $I$: 투과된 X-ray Itensity(강도)
• $E'$: photon 에너지
• $S_0(E')$: 입사 X-ray photon number spectrum
• $E'S_0(E')$: 입사 X-ray energy spectrum
• $\mu(x';E')$: 위치와 photon 에너지에 따른 선형감쇠계수
• $x'$: X-ray 진행 경로상의 위치
• $x$: 물질 내 X-ray 진행 거리

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같이 보면 좋은 자료들

2025.09.03 - [정리필요./PET, MRI and so on.] - Radiation Intensity

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