[SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem

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[SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem

dsaint31x 2024. 10. 21. 12:14

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신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem

$$f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$$

where

$f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate. Nyquist rate.
$f_\text{max}$ : 신호의 최대 주파수.

Harry Nyquist

통신 이론에서 특정 대역폭(bandwidth)을 가진 아날로그 신호를 디지털화 (digitization)하기 위해서는
최소한 해당 신호의 대역폭의 두 배 이상의 샘플링 주파수가 필요하다는 사실을 발견
이때문에 최대 대역폭의 2배인 샘플링 주파수를 Nyquist Sampling Rate (or Sampling Rate, Nyquist Rate)이라고 부름.

Claude Shannon

Nyquist의 연구(1928년 Certain Topics in the Telegraph Transmission Theory)를 확장하여,
대역 제한된 신호의 경우 원본 신호를 정확히 복원하기 위해서는
샘플링 주파수가 신호의 최대 주파수의 두 배 이상이어야 한다는 것을 증명
1949년 "Communication in the Presence of Noise"

2025.03.08 - [Computer] - [Etc] A Mathematical Theory of Communication - Claude Shannon

[Etc] A Mathematical Theory of Communication - Claude Shannon

A Mathematical Theory of Communication 은 Claude Shannon이 1948년에 발표한 유명한 논문의 제목임.이 논문은 Bell System Technical Journal에 두 부분으로 나뉘어 출판되었음.Part I : 1948.7 - Volume 27, Issue3, pp. 379-423Part I

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Impulse Train과 Convolution으로 살펴본 예

아래 그림에서 Signal $g_s(t)$의 최대 주파수는 바로 $f_\text{max}=c$가 된다.

즉, $f_\text{sampling} = \omega_s \ge 2c$일 때, aliasing이 생기지 않으며, 때문에 신호를 완벽하게 복원할 수 있다.

Effect of impulse-train sampling for band-limited signal in time (a) and frequency domain (b)

위 그림 출처: https://www.semanticscholar.org/paper/A-Generalized-Nyquist-Shannon-Sampling-Theorem-the-Zeng-Liu/0954128668c45a71c4e2f1f56db722b6aeb8b523

Over-sampling, perfect sampling, and Under-sampling

다음 그림은 sampling theorem을 만족시키지 못할 때 aliasing이 발생함을 보여준다.

위 그림 출처: https://www.goseeko.com/blog/what-is-the-aliasing-effect/

Aliasing 현상:

Impulse train의 각 impulse 주변으로 원본 신호의 스펙트럼이 복제됨:
- Time domain에서의 곱은 Freq. domain에선 convolution.
- shifted impulse와의 convolution은 impulse 주변으로 원본신호의 스펙트럼 복제에 해당함.
샘플링 주파수가 충분히 높지 않으면(Nyquist rate 미만), 이 복제된 스펙트럼들이 서로 겹치게 됨: uncer sampling.
결국 왜곡된 스펙트럼이 형성되어 원래의 신호를 복원하지 못함.

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