[Math] Projective Space: $\mathbb{P}^n$, n차원 투영공간

Projective Space

$n$ dimension의 real projective space $\mathbb{P}^n$는
다음과 같은 vector space 상에서 정의된 quotient space (일종의 vector들의 집합. 주의할 건 vector space는 아님)임.

$$\mathbb{P}^n = ( \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{\mathbf{0}\} ) / \sim$$

• $\setminus$ 는 difference(차집합)을 의미. 원점(zero vector)을 뺀 것임.
• $/$ 는 quotient by 로 quotient space를 만드는 것.  
• scalar mutiple equivalent calss $\sim$에 대한 quotient space임: $\textbf{x} ~\lambda \textbf{x}, \lambda \ne 0$

간략하게는 다음과 같이 표현하기도 함.

$$\mathbb{P}^n = \mathbb{R}^{n+1} - \mathbf{0} $$

 

Projective space는 정의상 vector space가 아님.
vector에서 magnitude를 빼고 direction(or orientation)만 남긴 벡터의 방향을 나타내는 공간임.

 

참고: 수학적 관점에서 간단한 설명

 

Projective space는 “벡터 공간의 원점을 지나는 벡터들의 스칼라배 집합”을 한 point(점)로 묶어 구성되며, 이 공간 자체에는 벡터 연산이 존재하지 않는다.

즉, projective space의 한 점은 orientation(방향)을 의미하며, 점과 직선의 위치 관계(incident structure)만 추상화할 뿐, 거리나 각도, 벡터의 개념은 없다.

이 공간에는 점과 점을 연결하는 직선의 개념, 직선 간 교점의 개념은 존재하지만, 평행의 개념은 존재하지 않음 (ideal point 존재).

 

Affine space는 projective space에서 무한 hyperplane(무한원)을 제거해 얻어진 것으로, 점들 간의 차를 통해 대응되는 벡터를 정의할 수 있고, 이 벡터들 간의 덧셈과 뺄셈이 가능하다.

단, inner product가 정의되어 있지 않아 거리나 각도의 개념은 없지만, 벡터의 방향 비교를 통해 평행의 개념은 성립한다.

 

Euclidean space는 affine space에 inner product가 추가되어 거리 와 각도 의 개념까지 포함된다.

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참고: Geometry에서의 incidence 의미

• incidence는 “어떤 기하 요소가 다른 기하 요소 위에 존재(발생)하거나 서로 교차한다”는 관계를 의미.
• 즉, 점과 직선이 만나거나(점이 직선 위에 있음), 직선과 평면이 만나거나(직선이 평면 위에 있음) 하는 관계를 의미

 

Duality

Projective space 에서는 duality가 성립하여,

• 해당 space에서는 homogeneous coordinates로 
• point 와 line 이 동일한 vector 형태로 표현됨:
  • point가 euclidean에서 원점을 지나는 직선(직선의 방향)을,
  • line은 euclidean에서 원점을 지나는 평면을 의미.
• Projective space에서 점과 직선의 관계(incidence structure)는 서로 대칭적이며,
  점에 대해 성립하는 명제는 직선으로 치환해도 같은 형태로 성립: duality

2024.06.28 - [.../Math] - [Math] Duality of Projective Geometry

[Math] Duality of Projective Geometry

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Projective space 와 Affine space

Projective space는

• Affine space에
• parallel lines가 교차하는 one point at infinity (=ideal point) 가 추가된 것임.

예를 들어. $\mathbb{P}^2$는

• homogeneous coordinates로 표현될 때
• 3개의 elements를 가지는 vector 로서 표현되고,

아래와 같은 equivalent (동치관계: 아래에서 등호로 표시함)가 성립함

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{x}{z} \\ \frac{y}{z} \\ 1\end{bmatrix}$$ 

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point 와 line

위의 homogeneous coordinates는 다음의 수식처럼

• $\mathbb{R}^2$의 point에 대응될 수 있고, 
• $\mathbb{R}^2$의 line에 대응될 수 있음.

$$(x,y) \rightarrow \begin{bmatrix}x \\ y \\ 1\end{bmatrix}, ax+by+c=0 \rightarrow \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$$

2024.06.16 - [.../Math] - [Math] Homogeneous Coordinate and Projective Geometry

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[CV] Intersection and Ideal Point; Homogeneous Coordinate and Cross Product

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기하학적으로 살펴보기

기하학적으로 살펴보면,

• 2-Dimenstional Projective Space $\mathbb{P}^2$ 는 일종의 set이기 때문에,
• 이 set에 포함되는 element는 각각 다음 그림에서 origin(원점)을 제외한 line에 해당함.
• (각 line을 이루는 3차원 $\mathbb{R}^3$의 점들은 $\mathbb{P}^2$에서 동치관계임: 해당 line으로 p에 투영.)

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더 읽어보면 좋은 자료들

https://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/projective.html

Question Corner -- Understanding Projective Geometry

https://alida.tistory.com/13

다중관점기하학(Multiple View Geometry in Computer Vision) 책 내용 정리 Part 1