Shifted Impulse $\delta(t-a)$의 Laplace Transform

0. Laplace Transform의 정의

$$\mathcal{L}[x(t)]
= \int_{0^-}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

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1. 변환할 함수인 shifted impulse 대입

$$x(t) = \delta(t-a)$$

대입하면

$$X(s)=\int_{0^-}^{\infty} \delta(t-a) e^{-st} dt$$

 

$\delta$의 위치가 적분 범위 안에 있는지 확인해야 적분의 값이 구해지는데, 

Laplace 적분의 구간은 다음과 같음:
$$0^- \le t < \infty$$

 

즉, $a>0$이면 $\delta(t−a)$는 이 구간 안에 존재하므로, 적분값은 0이 되지 않음.

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2. $\delta$의 sifting 성질을 적용하기 위한 준비

Dirac delta의 기본 성질: sifting property (주의: shift가 아닌 sift임.)

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-a) f(t) dt = f(a)$$

2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Properties of Impulse Function

[SS] Properties of Impulse Function

 

이 성질을 사용하기 위해서는 integrand를 다음 형태로 만들어야 함:

$$\delta(t-a) f(t)$$

그러므로 앞서의 적분에서 $f(t)$ 역할을 하는 함수는 명시적으로 다음과 같음:

$$\boxed{f(t)= e^{-st}}$$

이를 통해 다음이 성립.

$$\delta(t-a) e^{-st} = \delta(t-a) f(t)$$

이는 sifting 성질을 적용할 수 있게 해줌.

 

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3. Sifting property를 Laplace 적분 구간에 맞게 적용

적분 구간이 $[0^-,\infty)$이고 $a>0$이므로,

$$\int_{0^-}^{\infty} \delta(t-a) f(t) dt = f(a)$$

따라서,

$$X(s)=f(a)=e^{-sa}$$

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4. 최종 결과

$$\mathcal{L}[\delta(t-a)]=e^{-as}$$

 

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요약

1. Laplace integrand는 $\delta(t-a)e^{-st}$ 형태
2. $\delta$의 sifting property를 사용: $\delta(t−a) f(t)$ 로 integrand를 바라보기
3. Laplace transform 에선 $f(t)=e^{-st}$ 임.
4. 따라서 $X(s)= f(a) = e^{-sa}$ 가 얻어짐.

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같이보면 좋은 자료들

2022.10.24 - [.../Signals and Systems] - [SS] Laplace Transform Table

[SS] Laplace Transform Table